Question

Решите в натуральных числах уравнение 13х + 16у = 90 Решите в натуральных числах уравнение ху - 7у + 3х = 39 Решите в целых числах уравнение х² - 3xy + 2y² = 3

Answer 1

Ответ:

13х+16у=90

13х+16у-90=90-90

13х+16у-90=0

Answer 2

Для каждого уравнения решим их поставленные условия:

1. Уравнение: 13х + 16у = 90

Чтобы найти натуральные числа x и y, удовлетворяющие данному уравнению, мы можем перебирать значения y и находить соответствующие значения x, проверяя при этом, что x и y являются натуральными числами. Посмотрим на таблицу возможных значений:

y	x	Уравнение
1	2	132 + 161 = 90
2	4	134 + 162 = 90
3	6	136 + 163 = 90
4	8	138 + 164 = 90

Таким образом, уравнение имеет следующее натуральное решение: x = 8, y = 4.

2. Уравнение: ху - 7у + 3х = 39

Так как уравнение квадратное, нам нужно преобразовать его в более удобную форму. Для этого мы будем рассматривать уравнение как квадратное по переменной x:

x² - (7y - 3)x + 39 = 0

Мы должны найти такие целые числа x и y, при которых это квадратное уравнение имеет целочисленные корни. Уравнение будет иметь целочисленные корни, если дискриминант (D) этого квадратного уравнения будет являться квадратом целого числа.

Дискриминант D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляется по формуле: D = b² - 4ac

В нашем случае a = 1, b = -(7y - 3) и c = 39. Подставим значения и найдем D:

D = (7y - 3)² - 4 * 1 * 39 = 49y² - 42y + 9 - 156 = 49y² - 42y - 147

Теперь проверим, является ли D квадратом целого числа. Для этого D должно быть равно (m²), где m - целое число.

Попробуем подставить несколько значений y и посмотреть, является ли D квадратом целого числа:

1. При y = 1: D = 491² - 421 - 147 = -140
2. При y = 2: D = 492² - 422 - 147 = -77
3. При y = 3: D = 493² - 423 - 147 = 0 (D является квадратом целого числа, D = 0²)

Таким образом, уравнение имеет следующие целочисленные решения: x = 3, y = 3.

3. Уравнение: х² - 3xy + 2y² = 3

Также как и в предыдущем уравнении, рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x² - 3xy + 2y² - 3 = 0

Сейчас нам не требуется находить конкретные значения x и y. Мы можем рассматривать это уравнение как квадратное уравнение с параметром y. Условие, при котором уравнение имеет решение, состоит в том, чтобы дискриминант (D) был неотрицательным:

D = b² - 4ac

Здесь a = 1, b = -3y и c = 2y² - 3. Подставим значения и найдем D:

D = (-3y)² - 4 * 1 * (2y² - 3) = 9y² - 8y² + 12 = y² + 12

Таким образом, условие, при котором уравнение имеет решение в целых числах x и y, это y² + 12 ≥ 0, что верно для любых целых значений y. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах.