Question

Найдите область определения функции f(x)=(в корне)5х^2-3х-2

Answer 1

Ответ:

Объяснение: приложено

√5х²-3х-2

ОПФ: 5х²-3х-2≥0

Answer 2

Чтобы найти область определения функции f(x), необходимо определить, при каких значениях переменной x выражение под корнем не будет отрицательным. В случае квадратного подкоренного выражения $ax^2 + bx + c$, условие для неотрицательности выражения равно:

$ax^2 + bx + c \geq 0.$

В данном случае, функция $f(x) = \sqrt{5x^2 - 3x - 2}$ имеет квадратное подкоренное выражение $5x^2 - 3x - 2$. Найдем область определения, при которых выражение $5x^2 - 3x - 2$ неотрицательно.

Решим неравенство $5x^2 - 3x - 2 \geq 0$:

$5x^2 - 3x - 2 \geq 0$

Для решения этого неравенства, можно воспользоваться факторизацией или методом знаков:

Факторизация: $5x^2 - 3x - 2 = (5x + 1)(x - 2).$

Теперь рассмотрим знаки множителей:

1. $5x + 1$ имеет положительный знак при $x > -\frac{1}{5}$.
2. $x - 2$ имеет положительный знак при $x > 2$.

Теперь построим знаки выражения $5x^2 - 3x - 2$:

$$\begin{array}{c|ccc|c} x & -\infty & & -\frac{1}{5} & & 2 & & +\infty \\ \hline 5x + 1 & - & 0 & + & & + & & +\\ x - 2 & - & - & - & & 0 & + & +\\ 5x^2 - 3x - 2 & - & 0 & + & + & 0 & + & + \\ \end{array}$$

Из таблицы видно, что выражение $5x^2 - 3x - 2$ неотрицательно при $x \leq -\frac{1}{5}$ и $x \geq 2$. Это означает, что функция $f(x) = \sqrt{5x^2 - 3x - 2}$ определена при $x \leq -\frac{1}{5}$ и $x \geq 2$.

Таким образом, область определения функции $f(x)$ состоит из всех действительных чисел $x$ таких, что $x \leq -\frac{1}{5}$ и $x \geq 2$, записывается как:

$\text{Область определения } f(x) = \left(-\infty, -\frac{1}{5}\right] \cup [2, +\infty).$