Question

Вычислите площадь поверхности тела, полученного вращением линии L: y^2=x, между прямыми x=+-2/3, вокруг оси ОХ

Answer 1

все необходимое находится во вложени, читайте

Answer 2

Для вычисления площади поверхности тела, полученного вращением линии L вокруг оси OX между прямыми x = -2/3 и x = 2/3, мы будем использовать метод цилиндров разрезания.

Шаг 1: Найдем точки пересечения линии L с вертикальными линиями x = -2/3 и x = 2/3. Подставим x = -2/3 в уравнение линии L: y^2 = (-2/3)^2 = 4/9. Подставим x = 2/3 в уравнение линии L: y^2 = (2/3)^2 = 4/9. Таким образом, точки пересечения линии L с прямыми x = -2/3 и x = 2/3 имеют координаты (-2/3, ±2/3).

Шаг 2: Вычислим площадь поверхности цилиндрического разреза.

Рассмотрим разрез, полученный вращением малого отрезка линии L, находящегося между точками с координатами (x, y) и (x + dx, y + dy) вокруг оси OX.

При вращении этого малого отрезка вокруг оси OX образуется цилиндр с радиусом y и высотой dx. Тогда его площадь поверхности можно вычислить как 2πy*dx.

Шаг 3: Вычислим площадь поверхности тела, сложив площади всех цилиндрических разрезов.

Площадь поверхности тела (S) можно получить интегрированием по x от x = -2/3 до x = 2/3:

S = ∫[от -2/3 до 2/3] 2πy*dx.

Шаг 4: Выразим y через x из уравнения линии L, y^2 = x:

y = ±√x.

Шаг 5: Подставим это выражение в интеграл для S:

S = 2π∫[от -2/3 до 2/3] √x * dx.

Теперь вычислим интеграл:

S = 2π * (2/3) * (2/3)^(3/2) - 2π * (-2/3) * (-2/3)^(3/2).

S = 4π/27 + 4π/27 = 8π/27.

Ответ: Площадь поверхности тела, полученного вращением линии L вокруг оси OX между прямыми x = -2/3 и x = 2/3, равна 8π/27 квадратных единиц.