Question

При каких значениях x дробь корень x-2/x-4 принимает наибольшее значение? Подробно пожалуйста

Answer 1

Ответ:x=2

X=4

Объяснение:

Answer 2

Для определения, при каких значениях $x$ дробь $\frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$ принимает наибольшее значение, мы можем использовать методы дифференциального исчисления.

1. Найдем производную функции $\frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$ по переменной $x$.

Пусть $y = \frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$. Тогда, для нахождения производной, выполним следующие шаги:

a) Приведем дробь к более удобному виду, используя свойства корней: $y = (x-2)^{\frac{1}{2}} \cdot (x-4)^{-1}$

b) Прологарифмируем обе стороны уравнения, чтобы упростить вычисления: $\ln(y) = \ln((x-2)^{\frac{1}{2}}) + \ln((x-4)^{-1})$

c) Применим свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$: $\ln(y) = \frac{1}{2}\ln(x-2) - \ln(x-4)$

d) Теперь продифференцируем обе стороны уравнения по переменной $x$: $\frac{d}{dx}(\ln(y)) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln(x-2) - \ln(x-4)\right)$

2. Найдем производные слева и справа: $\frac{d}{dx}(\ln(y)) = \frac{1}{2(x-2)} - \frac{1}{(x-4)}$

3. Найдем критические точки, где производная равна нулю: $\frac{1}{2(x-2)} - \frac{1}{(x-4)} = 0$

4. Решим уравнение для $x$: $\frac{1}{2(x-2)} = \frac{1}{(x-4)}$

Перемножим обе части уравнения на $2(x-4)$ (поскольку $x-4 \neq 0$): $2(x-4) = (x-2)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые на одну сторону: $2x - 8 = x - 2$

Выразим $x$: $x = 6$

5. Проверим значение второй производной в найденной критической точке, чтобы убедиться, что это действительно точка минимума. Для этого найдем вторую производную функции $y = \frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$:

$\frac{d^2}{dx^2}(y) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2(x-2)} - \frac{1}{(x-4)}\right) = -\frac{1}{2(x-2)^2} + \frac{1}{(x-4)^2}$

Теперь подставим $x = 6$ во вторую производную: $\frac{d^2}{dx^2}(y) = -\frac{1}{2(6-2)^2} + \frac{1}{(6-4)^2} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{8} > 0$