Question

1) Сколько существует пятизначных чисел, записанных цифрами 0, 3, 5, 7, 9 (без их повторения), которые начинаются с цифры, кратной трём? Ответ: 2) Сколько существует пятизначных чисел, записанных цифрами 0, 3, 5, 7, 9 (без их повторения), которые кратны 15. Ответ:

Answer 1

1) Это числа вида 3хххх и 9хххх.

Всего таких чисел 2·4! = 2·1·2·3·4 = 48.

2) Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5. Число, составленное из цифр 0, 3, 5, 7, 9 будет делиться на 3, т.к. сумма этих цифр кратна 3; также оно будет делиться на 5, если в разряде единиц будет стоять 0 или 5.

Нас интересуют числа вида xxxx0 и xxxx5.

Чисел вида xxxx0 4! = 1·2·3·4 = 24.

Последовательностей цифр вида xxxx5 также 24, но на первом месте на может стоять 0. Последовательностей цифр вида 0xxx5 6 штук. Значит чисел вида xxxx5 24-6 = 18 штук.

Значит искомых чисел 24+18 = 42 штуки.

Answer 2

1. Чтобы число начиналось с цифры, кратной трём (т.е. 0 или 3), оно должно начинаться либо с 3, либо с 0. Значит, у нас есть два варианта для первой цифры. Для оставшихся четырёх цифр можно использовать любую из оставшихся цифр (5, 7, 9), но без повторений. Это означает, что для второй цифры у нас останется три варианта, для третьей два, для четвёртой один вариант. Таким образом, количество таких пятизначных чисел будет:

2 * 3 * 2 * 1 * 1 = 12

Ответ: 12 пятизначных чисел.

2. Чтобы число было кратно 15, оно должно одновременно делиться и на 3, и на 5. Это означает, что сумма его цифр также должна быть кратной 3 и его последняя цифра должна быть 5 или 0.

Сумма цифр числа 0, 3, 5, 7 и 9 равна 24. Чтобы сумма была кратной 3, нужно добавить к этой сумме одну из оставшихся цифр (5 или 0), чтобы получить сумму, кратную 3. Таким образом, у нас есть два варианта для последней цифры.

После определения последней цифры, остаются четыре варианта для оставшихся четырёх позиций (первых четырёх цифр), и это можно сделать без повторений.

2 * 4! = 2 * 24 = 48

Ответ: 48 пятизначных чисел.