Question

Из цифр 1,2,3,4,5 составлены всевозможные трёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, которые: а) кратны 3. б) кратны 4. в)кратны 5

Answer 1

Всего 60 трехзначных чисел
На первое место можно разместить любую из пяти цифр, пять способов.На второе место можно разместить любую из четырех цифр, четыре способа. На третье место любую из оставшихся трех цифр, три способа.
На все три места результаты выбора умножаем.
5·4·3=60
а) кратны трем те числа, у которых сумма цифр кратна трем 
Например, используя цифры 1; 2; 3, сумма цифр которых 1+2=3=6 кратна 3 можно составит шесть чисел, кратных 3:
123; 132;321;312;231;213
Возможностей 4:
1+2+3=6 кратно 3
2+3+4= 9 кратно 3
3+4+5=12 кратно 3
1+3+5=9 кратно 3

В каждой возможности 6 чисел. Всего 24 числа.
б) Кратны четырем те трехзначные числа, у которых  две последние цифры  кратны 4. Возможны варианты:
*12
*24
*32
*52
На первое место можно разместить любую из оставшихся трех цифр, тремя способами.

Всего 3·4=12 чисел
в) кратных 5:
12:
на последнем месте обязательно  располагается цифра 5 ( числа кратные 5 оканчиваются на 5 или на 0, 0 у нас нет). На первое место можно выбрать любую из четырех оставшихся  цифр - четыре способа, на второе место любую из оставшихся трех - три способа.
Всего 4·3=12 способов.

Answer 2

а) Для того чтобы число было кратно 3, необходимо, чтобы сумма его цифр была кратна 3. Сумма цифр всех возможных трёхзначных чисел равна $1+2+3+4+5=15$. Чтобы найти количество трёхзначных чисел, сумма цифр которых кратна 3, нужно подсчитать, сколько комбинаций цифр дают в сумме 3, 6, 9, 12 и 15:

• 3: только комбинация (1,2).
• 6: комбинации (1,5), (2,4), (3,3).
• 9: комбинации (3,6), (1,4,4), (2,3,4), (2,5,2), (1,3,5).
• 12: комбинации (4,5), (1,2,4), (1,3,3), (2,2,5).
• 15: только комбинация (1,2,3). Таким образом, всего получается $1+3+5+4+1=14$ трёхзначных чисел, сумма цифр которых кратна 3.

б) Чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы последние две его цифры образовывали число, кратное 4. Это могут быть числа 12, 24, 32, 34 и 52. Для каждой из этих пар последних цифр есть 2 возможных варианта выбора первой цифры (оставшейся цифры). Таким образом, всего получается $5\cdot 2=10$ трёхзначных чисел, кратных 4.

в) Чтобы число было кратно 5, необходимо, чтобы последняя его цифра была 5 или 0. Есть 2 варианта для последней цифры, и оставшиеся 2 цифры могут быть выбраны любым из 4 оставшихся чисел. Таким образом, всего получается $2\cdot 4\cdot 3=24$ трёхзначных чисел, кратных 5.

Итак, ответы: а) 14 трёхзначных чисел, сумма цифр которых кратна 3. б) 10 трёхзначных чисел, кратных 4. в) 24 трёхзначных числа, кратных 5.