Question

Помогите мне с задачами пожалуйста.Вообще не понимаю как их сделать.Просто я болел и пропустил комбинаторику,а теперь вот нифига не понимаю того,что надо делать.ВОт 4 задачи:1)Из цифр 2,3,4,7 составлены всевозможные пятизначные числа(без повторения цифр).Сколько среди этих чисел таких,которые:а)кратны 4;б)кратны 52)Из цифр 2,3,4,7 составлены всевозможные четырехзначные числа(без повторенияя цифр).Сколько среди этих чисел таких,которые :а)Кратны 4;б)Кратны 5.3)Сколькими способами можно расставить на полке четыре книги по алгебре и три по геометрии,причем так,что бы все книги по алгебре(в любом порядке) стояли рядом?4)Найти сумму всех трехзначных чисел,которые можно составить из цифр 2,4,6,не повторяя цифр.

Answer 1

1). что-то не то с условием: из четырех чисел нельзя составить пятизначное число, не имеющие в составе повторяющихся цифр.

2). по признаку делимости на 5: чтобы число делилось на 5, надо, чтоб оно оканчивалось на 0 или 5. Т.к. данные цифры не используются, то числа, делящиеся на 5 составить нельзя.
по признаку делимости на 4: чтобы число делилось на 4, надо, чтоб число составленное из двух последних цифр в том же порядке делилось на 4. из данных цифр можно составить только числа оканчивающиеся на 24, 72, 32.
разберем вариант с 24. тогда с первой и второй цифрами числа так: т.к. цифры не повторяются 2 и 4 использовать нельзя. тогда на первое место в числе можно поставить любую из двух оставшихся цифр (таких 2), а на второе место уже оставшуюся цифру...в результате количество требующихся чисел 2*1=2.
аналогично получим 2 числа оканчивающиеся на 32 и 2 числа оканчивающиеся на 72.
Ответ: а) 6 чисел. б) ни одного

3). т.к. учебники алгебры могут стоять только рядом, то возьмем их как один объект, тогда объектов, которые надо расставить у нас 4 (причем 3 из них одного вида - учебники геометрии (я так понимаю нет разницы какой из них будет стоять раньше, какой позже)). существует формула для перестановок с повторениями: 

$P(n_{1}, n_{2},...)= \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...}$

где n - общее кол-во объектов, а [tex]n_{1},n_{2}[/tex] и т.д. - кол-во объектов каждого вида

получаем: 4 способа

4). Чисел которые начинаются с 2 - можно составить два. чисел, где 2 стоит на втором месте - тоже два, где на третьем - два. аналогично для 4 и 6.

теперь найдем сумму всех таких чисел: (2*100+2*10+2)*2+(4*100+4*10+4)*2+(6*100+6*10+6)*2

Answer 2

Задача 1: Из цифр 2, 3, 4, 7 составлены всевозможные пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые: а) кратны 4; б) кратны 5?

# Решение:

Для решения задачи, мы можем использовать комбинаторику и математическую логику.

а) Кратность числа 4 означает, что оно делится на 4 без остатка. Пятизначное число может быть кратно 4 только в том случае, если последние две его цифры вместе образуют число, кратное 4.

У нас есть 4 возможные цифры (2, 3, 4, 7), и мы хотим составить пятизначные числа без повторения цифр. Для того чтобы число было кратно 4, последние две его цифры должны быть одной из следующих комбинаций: 24, 32, 72, 42, 34, 43.

Мы можем составить пятизначное число, выбрав любую из этих комбинаций для последних двух цифр и любые три из оставшихся цифр для первых трех позиций. Таким образом, у нас есть 6 * 4 * 3 * 2 * 1 = 144 пятизначных чисел, кратных 4.

б) Кратность числа 5 означает, что оно заканчивается на 5 или 0. Поскольку у нас нет цифры 0 в нашем наборе цифр (2, 3, 4, 7), мы можем составить только пятизначные числа, заканчивающиеся на 5.

Мы можем составить пятизначное число, выбрав любую из четырех цифр (2, 3, 4, 7) для первых четырех позиций и ставя 5 на последнюю позицию. Таким образом, у нас есть 4 * 3 * 2 * 1 = 24 пятизначных чисел, кратных 5.

В итоге, ответ на задачу: а) Количество пятизначных чисел, кратных 4: 144. б) Количество пятизначных чисел, кратных 5: 24.

Задача 2: Из цифр 2, 3, 4, 7 составлены всевозможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые: а) Кратны 4; б) Кратны 5?

# Решение:

Аналогично предыдущей задаче, мы можем использовать комбинаторику и математическую логику для решения этой задачи.

а) Кратность числа 4 означает, что оно делится на 4 без остатка. Четырехзначное число может быть кратно 4 только в том случае, если последние две его цифры вместе образуют число, кратное 4.

У нас есть 4 возможные цифры (2, 3, 4, 7), и мы хотим составить четырехзначные числа без повторения цифр. Для того чтобы число было кратно 4, последние две его цифры должны быть одной из следующих комбинаций: 24, 32, 72, 42, 34, 43.

Мы можем составить четырехзначное число, выбрав любую из этих комбинаций для последних двух цифр и любые две из оставшихся цифр для первых двух позиций. Таким образом, у нас есть 6 * 4 * 3 * 2 = 144 четырехзначных чисел, кратных 4.

б) Кратность числа 5 означает, что оно заканчивается на 5 или 0. Поскольку у нас нет цифры 0 в нашем наборе цифр (2, 3, 4, 7), мы можем составить только четырехзначные числа, заканчивающиеся на 5.

Мы можем составить четырехзначное число, выбрав любую из четырех цифр (2, 3, 4, 7) для первых трех позиций и ставя 5 на последнюю позицию. Таким образом, у нас есть 4 * 3 * 2 * 1 = 24 четырехзначных чисел, кратных 5.

В итоге, ответ на задачу: а) Количество четырехзначных чисел, кратных 4: 144. б) Количество четырехзначных чисел, кратных 5: 24.

Задача 3: Сколькими способами можно расставить на полке четыре книги по алгебре и три по геометрии, при условии, что все книги по алгебре (в любом порядке) стоят рядом?

# Решение:

Мы можем рассмотреть книги по алгебре как одну группу. Тогда у нас есть 4! (факториал 4) способов упорядочить книги внутри этой группы. Также у нас есть 3! (факториал 3) способов упорядочить книги по геометрии.

Поскольку книги по алгебре должны стоять рядом, мы можем рассматривать их как один объект. Таким образом, у нас есть 4! * 3! = 24 * 6 = 144 способа расставить книги на полке.

Ответ: Существует 144 способа расставить на полке четыре книги по алгебре и три книги по геометрии, при условии, что все книги по алгебре стоят рядом.

Задача 4: Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 6, без повторения цифр.

# Решение:

Мы можем использовать комбинаторику и математическую логику для решения этой задачи.

У нас есть 3 возможные цифры (2, 4, 6), и мы хотим составить трехзначные числа без повторения цифр.

Мы можем составить трехзначное число, выбрав любую из трех цифр для первой позиции, любую из оставшихся двух цифр для второй позиции и оставшуюся цифру для третьей позиции. Таким образом, у нас есть 3 * 2 * 1 = 6 трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 6 без повторения цифр.

Чтобы найти сумму всех этих чисел, мы можем просуммировать все возможные комбинации. Сумма всех трехзначных чисел будет равна 2