Question

1. Найди такие значения а, при которых уравнение 3x²-ax+4=0 имеет два корня. 2.Решите неравенство (x²-4x)²+10(x²-4x)+21 ⩾0​

Answer 1

1)

$3x^2-ax+4=0\\D=(-a)^2-4*3*4=a^2-48$

Квадратное уравнение имеет 2 корня, когда D>0⇒

$a^2-48>0\\a^2>48\\a>+-\sqrt{48} \\a>+-4\sqrt{3}$

a∈(-∞;-4√3)∪(4√3;+∞)

2)

(x²-4x)²+10(x²-4x)+21 ⩾0​

t²+10t+21=0

t₁=-3   t₂=-7

x²-4x+3=0              x²-4x+7=0

x₁=1   x₂=3             Нет корней

x∈(-∞;1]∪[3;+∞)

Answer 2

1. Чтобы уравнение 3x² - ax + 4 = 0 имело два корня, дискриминант должен быть больше нуля. Дискриминант для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b² - 4ac. В нашем случае, a = 3, b = -a и c = 4.

D > 0 (-a)² - 4 * 3 * 4 > 0 a² - 48 > 0 a² > 48

Таким образом, значения а должны быть больше корня из 48, то есть a > √48 ≈ 6.93 (около 6.93).

2. Для решения неравенства (x² - 4x)² + 10(x² - 4x) + 21 ≥ 0, мы можем использовать метод замены переменной. Для этого обозначим u = x² - 4x, тогда неравенство примет вид:

u² + 10u + 21 ≥ 0

Теперь решим квадратное уравнение u² + 10u + 21 = 0, чтобы найти точки пересечения с осью u:

D = 10² - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16 u₁ = (-10 + √16) / 2 = (-10 + 4) / 2 = -3 u₂ = (-10 - √16) / 2 = (-10 - 4) / 2 = -7

Теперь у нас есть два значения u, где неравенство может измениться: -3 и -7.

Теперь посмотрим на знак выражения (u² + 10u + 21) в каждом из интервалов:

1. Если u < -7: (u² + 10u + 21) < 0
2. Если -7 ≤ u ≤ -3: (u² + 10u + 21) ≥ 0
3. Если u > -3: (u² + 10u + 21) > 0

Теперь вспомним, что u = x² - 4x, и подставим значения u для каждого интервала:

1. Если x² - 4x < -7, то x² - 4x + 7 < 0
2. Если -7 ≤ x² - 4x ≤ -3, то x² - 4x + 7 ≥ 0
3. Если x² - 4x > -3, то x² - 4x + 7 > 0

Теперь решим каждое из неравенств:

1. x² - 4x + 7 < 0: Это неравенство не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

2. x² - 4x + 7 ≥ 0: Так как дискриминант равен нулю, у нас есть одно решение: x = (-(-4) ± √0) / 2 = (4 ± 0) / 2 = 4 / 2 = 2

3. x² - 4x + 7 > 0: Это неравенство также не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

Итак, решением исходного неравенства является интервал: -7 ≤ x ≤ -3 и x = 2.