Question

Помогите решить: Требуется решение Решите квадратное неравенство x^2-2x-8>0

Answer 1

Для начала разложим квадратный трёхчлен по правилу

$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$

Найдём корни квадратного трёхчлена

По теореме Виета

x1*x2 = -8

x1+x2 = 2

Очевидно, что корнями являются 4 и -2

Значит

$x^2-2x-8=(x-4)(x+2) =>\\(x-4)(x+2) > 0$

По методу интервалов (см прикреп) мы находим, что неравенство выполняется при

x>4 или x<-2

Ответ: (-∞;-2)∪(4;+∞)

Answer 2

Для решения квадратного неравенства $x^2 - 2x - 8 > 0$, следуйте следующим шагам:

1. Найдите корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
2. Постройте таблицу знаков для $x^2 - 2x - 8$, используя найденные корни.
3. Определите интервалы, где $x^2 - 2x - 8 > 0$.

Шаг 1: Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. Для этого воспользуемся квадратным уравнением $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -2$ и $c = -8$.

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Теперь находим корни уравнения, используя формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$

Таким образом, корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Шаг 2: Построим таблицу знаков для $x^2 - 2x - 8$, используя найденные корни:

$$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & -2 & 4 & +\infty \\ \hline x^2 - 2x - 8 & - & 0 & + & + \end{array}$$

Шаг 3: Определим интервалы, где $x^2 - 2x - 8 > 0$. Из таблицы знаков видно, что неравенство $x^2 - 2x - 8 > 0$ выполняется на двух интервалах: $(- \infty, -2)$ и $(4, +\infty)$.

Таким образом, решением данного квадратного неравенства является множество значений $x$, принадлежащих интервалам $(- \infty, -2)$ и $(4, +\infty)$:

$x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$