Question

Найдите три числа, которые составляют геометрическую прогрессию, зная, что их сумма равна 21, а произведение — 216​

Answer 1

Три числа, составляющие геометрическую прогрессию:  a , b , c .

$a=a\; ,\; \; b=aq\; ,\; \; c=aq^2\\\\1)\; \; a+b+c=21\; \; \to \; \; \; a+aq+aq^2=21\; ,\; a\cdot (1+q+q^2)=21\; ,\\\\2)\; \; a\cdot b\cdot c=216\; \; ,\; \; a\cdot aq\cdot aq^2=216\; \; ,\; \; a^3q^3=216\; \; ,\; \; (aq)^3=6^3\; ,\\\\aq=6\; ,\; a=\dfrac{6}{q}$

$3)\; \; \dfrac{6}{q}\cdot (1+q+q^2)=21\; \; ,\; \; 6+6q+6q^2=21q\; \; ,\; \; 6q^2-15q+6=0\; ,\\\\2q^2-5q+2=0\; \; ,\; \; D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9\; ,\; \; q_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}\; ,\; \; q_2=\frac{5+3}{4}=2\\\\a_1=\frac{6}{q_1}=6:\frac{1}{2}=12\; \; ,\; \; b_1=12\cdot \frac{1}{2}=6\; \; ,\; \; c_1=6\cdot \frac{1}{2}=3\\\\a_2=\frac{6}{a_2}=\frac{6}{2}=3\; \; ,\; \; b_2=3\cdot 2=6\; \; ,\; \; c_2=6\cdot 2=12$

Ответ: два варианта ответа:  а)  12 ; 6 ; 3   или  б)  3 ; 6 ; 12 .

Answer 2

Пусть наши три числа будут $a$, $ar$, и $ar^2$, где $a$ - первый член геометрической прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что сумма трех чисел равна 21: $a + ar + ar^2 = 21.$

Также, известно, что произведение этих чисел равно 216: $a \cdot ar \cdot ar^2 = 216.$

Упростим произведение: $a \cdot ar \cdot ar^2 = a \cdot a \cdot r \cdot r^2 = a^3 \cdot r^3 = 216.$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $a + ar + ar^2 = 21$
2. $a^3 \cdot r^3 = 216$

Из уравнения (2) мы можем найти значение $a^3 \cdot r^3$: $a^3 \cdot r^3 = 216 \implies a^3 \cdot r^3 = 6^3.$

Это означает, что $a \cdot r = 6$.

Теперь, мы можем заменить $a \cdot r$ в уравнении (1): $a + ar + ar^2 = 21 \implies a + 6 + 6r = 21.$

Таким образом, у нас есть уравнение: $a + 6 + 6r = 21.$

Решим это уравнение относительно $r$: $6r = 21 - a - 6 \implies r = \frac{15 - a}{6}.$

Теперь, подставим это значение $r$ обратно в $a \cdot r = 6$: $a \cdot \frac{15 - a}{6} = 6 \implies a \cdot (15 - a) = 36.$

Это квадратное уравнение можно решить: $15a - a^2 = 36 \implies a^2 - 15a + 36 = 0.$

Факторизуем его: $(a - 12)(a - 3) = 0.$

Таким образом, $a = 12$ или $a = 3$.

Если $a = 12$, то $r = \frac{15 - 12}{6} = \frac{1}{2}$, и тройка чисел будет: 12, 6, 3.

Если $a = 3$, то $r = \frac{15 - 3}{6} = 2$, и тройка чисел будет: 3, 6, 12.

Итак, возможные тройки чисел: 12, 6, 3 и 3, 6, 12.