Question

Докажите неравенство:х²+1≥2(3х-4)х²+5≥10(х-2)​

Answer 1

Ответ:

x²+1≥2(3x-4)

x²+1≥6x-8

x²+1-6x+8≥0

x²+9-6x≥0

x²-6x+9≥0

(x-3)²≥0

x²+5≥10(x-2)

x²+5≥10x-20

x²+5-10x+20≥0

x²+25-10x≥0

x²-10x+25≥0

(x-5)²≥0

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, необходимо решить каждое неравенство отдельно и проверить их выполнение.

1. x² + 1 ≥ 2(3x - 4):

Раскроем скобки: x² + 1 ≥ 6x - 8

Перенесем все в одну сторону: x² - 6x + 9 ≥ 0

Теперь найдем корни квадратного трехчлена: x₁ = (6 + √(6² - 4·1·9)) / (2·1) = (6 + √(36 - 36)) / 2 = (6 + √0) / 2 = 6/2 = 3 x₂ = (6 - √(6² - 4·1·9)) / (2·1) = (6 - √(36 - 36)) / 2 = (6 - √0) / 2 = 6/2 = 3

Уравнение имеет один корень x = 3.

Подставим точки из каждого интервала в исходное неравенство, чтобы проверить их выполнение: Для x < 3: x = 2 2² + 1 = 5 ≥ 2(3·2 - 4) = 5 (выполняется) Для x = 3: x = 3 3² + 1 = 10 ≥ 2(3·3 - 4) = 10 (выполняется) Для x > 3: x = 4 4² + 1 = 17 ≥ 2(3·4 - 4) = 16 (выполняется)

Таким образом, неравенство x² + 1 ≥ 2(3x - 4) выполняется для всех значений x.

2. x² + 5 ≥ 10(x - 2):

Раскроем скобки: x² + 5 ≥ 10x - 20

Перенесем все в одну сторону: x² - 10x + 25 ≥ 0

Факторизуем квадратный трехчлен: (x - 5)² ≥ 0

Квадрат любого числа неотрицательный, поэтому данное неравенство выполняется для всех значений x.

Таким образом, неравенство x² + 5 ≥ 10(x - 2) выполняется для всех значений x.

Итак, оба неравенства выполняются для всех значений x.