Question

Складіть рівняння дотичної до графіка функції y=x3+x2 в точці з абцисою x0=1

Answer 1

Дана функція:

$y = {x}^{3} + {x}^{2} , \: x_{0} = 1$

Загальне рівняння дотичної до графіка:

$y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})$

Знайдемо похідну даної функції:

$y' = ( {x}^{3} )' + ({x}^{2} )' = 3 {x}^{2} + 2x \\ y'(1) = 3 + 2 = 5 \\ y(1) = 1 + 1 = 2$

Рівняння дотичної:

$y = 5(x - 1) + 2 \\ y = 5x - 3$

Answer 2

Щоб скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці x = x0, спочатку знайдемо значення похідної функції у цій точці. Для цього обчислимо похідну функції y = x^3 + x^2.

Застосуємо правило диференціювання для суми та добутку функцій: (dy/dx) = (d/dx)(x^3) + (d/dx)(x^2)

Диференціюючи окремі частини, отримаємо: (dy/dx) = 3x^2 + 2x

Тепер замінимо x на x0 = 1, щоб знайти похідну в точці x = 1: (dy/dx) = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5

Отже, похідна функції y = x^3 + x^2 в точці x = 1 дорівнює 5.

Рівняння дотичної до графіка функції у точці (x0, y0) з відомим значенням похідної можна записати у вигляді: y - y0 = m(x - x0),

де m - значення похідної у точці x = x0.

Замінюючи x0 = 1, y0 = f(1) = 1^3 + 1^2 = 2 та m = 5, маємо: y - 2 = 5(x - 1).

Отже, рівняння дотичної до графіка функції y = x^3 + x^2 в точці x0 = 1 має вигляд: y - 2 = 5(x - 1).