Question

ОБЪЯСНИТЕ НОРМАЛЬНО, А НЕ МЕТОДОМ ПОДБОРА При каком положительном значении x выражение (16/x)+(x/9) достигает своего наименьшего значения? Определите это значение.

Answer 1

Ответ:

x=12, min((16/x)+(x/9))=8/3

Объяснение:

Часть теоремы о средних - неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим(неравенство Коши)

(16/x)+(x/9)≥2√((16/x)(x/9))=2√(16/9)=2·4/3=8/3

Равенство достигается при 16/x=x/9⇔x²=144⇔x=±12

x>0⇒x=12

min((16/x)+(x/9))=8/3

Можно решить и другим способом.

Рассмотрим функцию f(x)=16/x+x/9 при x>0. Найдём промежутки её монотонности.

f '(x)=-16/x²+1/9=(x²-144)/(9x²)=(x-12)(x+12)/(9x²)

x∈(0;12)⇒f '(x)<0⇒f↓

x∈(12;+∞)⇒f '(x)>0⇒f↑

minf(x)=f(12)=16/12+12/9=4/3+4/3=8/3

x∈(0;+∞)

Answer 2

Хорошо, чтобы найти минимальное значение выражения (16/x) + (x/9) без метода подбора, воспользуемся методом аналитической геометрии.

Для начала заметим, что данное выражение представляет собой сумму двух дробей, и чтобы найти минимальное значение этой суммы, необходимо найти значение x, при котором обе дроби будут минимальными.

Пусть первая дробь равна A = 16/x, а вторая - B = x/9.

Теперь обратим внимание на то, что функция f(x) = 1/x является монотонно убывающей на всей области определения (кроме точки x = 0). Это значит, что чем больше значение x, тем меньше будет значение дроби A = 16/x.

Также обратим внимание на функцию g(x) = x. Эта функция - прямая линия с положительным коэффициентом наклона, следовательно, чем больше значение x, тем больше будет значение дроби B = x/9.

Теперь для минимального значения (16/x) + (x/9) нужно найти значение x, при котором дроби A и B равны между собой (т.е. A = B).

16/x = x/9

Теперь решим эту пропорцию, чтобы найти значение x:

16 * 9 = x * x

144 = x^2

x = √144

x = 12

Таким образом, минимальное значение выражения (16/x) + (x/9) достигается при x = 12, и оно равно:

(16/12) + (12/9) = 4/3 + 4/3 = 8/3 ≈ 2.67