Question

Помогите ответить на вопросы, пожалуйста 1. Дайте определение первообразной. 2. Чем отличаются две первообразные для одной и той же функции? 3. Дайте определение неопределённого интеграла. 4. Каким знаком обозначается интеграл? 5. Какая функция называется подынтегральной функцией? 6. Какое выражение называется подынтегральным выражением? 7. Что называют интегрированием функции? 8. Перечислите некоторые свойства неопределённого интеграла. 9. Метод непосредственного интегрирования. 10.Как обозначается определённый интеграл? 11.Напишите формулу Ньютона-Лейбница. 12.Какая фигура называется криволинейной трапецией? 13. Напишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Answer 1

Ответ:

1)Определение. Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции.

2)Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое. ... Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F1 – F2 = С. Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной.

3)совокупность первообразных функции и называется непределенным интегралом от функции . Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается символическим выражением , которое читается "интеграл от эф от икс по дэ икс".

4) Знак интеграла (∫) используется для обозначения интеграла в математике.

5)Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается . Символ называется интегралом, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования.

6)Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

7)Если – одна из первообразных некоторой функции , то совокупность всех первообразных этой функции можно представить в виде , где C – произвольная постоянная. Функция, имеющая первообразную в некотором промежутке, называется интегрируемой, а процедуру нахождения первообразной называют интегрированием этой функции.

8)Неопределенный интеграл его свойства. ... Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как ∫f(x)dx. Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение ∫f(x)dx=F(x)+C, где C - произвольная постоянная.

9)Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

10)Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨].

11)Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления. Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x).

12)Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции у = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми х = а, х = b – см. рис.

Answer 2

1. Первообразная функции - это функция, производная которой равна исходной функции. То есть, если у нас есть функция f(x), то функция F(x) является первообразной для f(x), если F'(x) = f(x).

2. Две первообразные для одной и той же функции отличаются на константу. Если F(x) является первообразной для функции f(x), то любая функция вида G(x) = F(x) + C, где C - произвольная постоянная, также будет первообразной для f(x).

3. Неопределённый интеграл - это обратная операция к дифференцированию. Для данной функции f(x) неопределённый интеграл обозначается как ∫f(x) dx и представляет собой семейство функций, которые имеют производную f(x).

4. Интеграл обозначается знаком интеграла ∫.

5. Подынтегральной функцией называется функция, которая находится под знаком интеграла.

6. Подынтегральным выражением называется выражение, содержащее подынтегральную функцию и переменную интегрирования, на которой производится интегрирование.

7. Интегрирование функции - это процесс нахождения неопределённого или определённого интеграла данной функции.

8. Некоторые свойства неопределённого интеграла:

   • Линейность: ∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx
   • Замена переменной: Если u = g(x), то ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du
   • Интегрирование по частям: ∫u dv = uv - ∫v du

9. Метод непосредственного интегрирования - это метод, который заключается в использовании основных формул интегрирования для вычисления интегралов.

10. Определённый интеграл обозначается как ∫[a, b] f(x) dx, где a и b - пределы интегрирования, f(x) - подынтегральная функция.

11. Формула Ньютона-Лейбница (Фундаментальная теорема исчисления): Если F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале [a, b], то определённый интеграл от f(x) на этом интервале можно вычислить по формуле: ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

12. Криволинейная трапеция - это фигура, ограниченная двумя параллельными прямыми линиями и кривой линией, которая соединяет эти две линии.

13. Формула для вычисления площади криволинейной трапеции: Если у нас есть криволинейная трапеция с верхней кривой линией заданной как y = f(x), нижней кривой линией заданной как y = g(x) и пределами интегрирования a и b, то площадь этой трапеции вычисляется по следующей формуле: Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx