Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке f(x)=3cosx+cos3x [0;П]

Answer 1

Ответ: 4 и -4

Объяснение:f(x)=3cosx+cos3x [0;П]⇒f'(x)=-3Sinx -3Cos3x. Найдём критические точки: f'(x)=0, если -3Sinx -3Cos3x=0 ⇒ Sinx + Cos3x=0⇒ 2Sin 2x·Cosx=0⇒ 1) Sin2x=0 ⇒2x=nπ, где n∈Z, x₁=nπ/2, где n∈Z    или  2) Cosx=0 ⇒ x₂=π/2 +nπ, где n∈Z . Отрезку [0;π]  принадлежат только критические точки х=0; π/2; π. Найдём значения функции в критических точках и на концах промежутка и сравним их: f(0)= 3Cos0 +Cos (3·0)= 3·1 +1 =4;   f(π/2) =3·Cos(π/2) +Cos (3π/2) =3·0+0 =0 ;    f(π)= 3Cosπ + Cos (3π) = 3·(-1) + (-1) =-4 ⇒max f(x)= f(0)=4,  min f(x) =f(π)=- 4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке [0, П], нужно проанализировать поведение функции на этом интервале.

Дана функция: f(x) = 3cos(x) + cos(3x)

Находим производную функции f'(x):

f'(x) = d/dx (3cos(x) + cos(3x)) = -3sin(x) - 3sin(3x)

Теперь, чтобы найти критические точки функции, приравниваем производную к нулю:

-3sin(x) - 3sin(3x) = 0

Теперь решим это уравнение:

-3sin(x) = 3sin(3x)

sin(x) = sin(3x)

Чтобы найти значения x, удовлетворяющие этому уравнению, рассмотрим возможные значения углов на отрезке [0, П]:

1. x = 0: sin(0) = 0
2. x = П/2: sin(П/2) = 1
3. x = П: sin(П) = 0
4. x = 3П/2: sin(3П/2) = -1

Теперь проверим значения sin(3x) для каждого из этих значений x:

1. sin(3 * 0) = sin(0) = 0
2. sin(3 * П/2) = sin(3П/2) = -1
3. sin(3 * П) = sin(3П) = 0
4. sin(3 * 3П/2) = sin(9П/2) = sin(П/2) = 1

Итак, значения x = 0, x = П/2 и x = 3П/2 удовлетворяют условию sin(x) = sin(3x).

Теперь найдем вторую производную функции f''(x) для каждой из этих критических точек:

1. x = 0: f''(0) = d^2/dx^2 (3cos(0) + cos(3 * 0)) = d^2/dx^2 (3) = 0
2. x = П/2: f''(П/2) = d^2/dx^2 (3cos(П/2) + cos(3 * П/2)) = d^2/dx^2 (0 + (-1)) = 0
3. x = 3П/2: f''(3П/2) = d^2/dx^2 (3cos(3П/2) + cos(3 * 3П/2)) = d^2/dx^2 (0 + (-1)) = 0

Таким образом, получаем, что у нас имеется точки экстремума (точки перегиба), но нет точек минимума или максимума.

Теперь остается найти значения функции в этих точках:

1. f(0) = 3cos(0) + cos(3 * 0) = 3 + 1 = 4
2. f(П/2) = 3cos(П/2) + cos(3 * П/2) = 0 - 1 = -1
3. f(3П/2) = 3cos(3П/2) + cos(3 * 3П/2) = 0 - 1 = -1

Итак, на заданном отрезке [0, П], наибольшее значение функции f(x) = 4, а наименьшее значение -1.