Question

50БАЛЛОВ.РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВО МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. х²-4/х²-5х+6≥ 0

Answer 1

(х²-4)/(х²-5х+6)≥ 0

Разложим числитель и знаменатель левой части на множители, для чего решим уравнение х²-5х+6=0, по Виету х=2; х=3,числитель

разложим, как разность квадратов (х-2)(х+2), и неравенство равносильно такой системе

(х-2)(х+2)(х-2)(х-3)≥0, т.е. (х-2)²(х+2)(х-3)≥0

х≠2; х≠3.

___-2_____2________3_______

+          -               -                +

х∈(-∞; -2]∪(3;+∞)

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство методом интервалов, нужно выяснить значения переменной x, при которых выражение $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \geq 0$ будет положительным или нулевым. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем значения x, при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль:

   $x^2 - 4 = 0$ имеет решения $x = -2$ и $x = 2$,

   $x^2 - 5x + 6 = 0$ имеет решения $x = 2$ и $x = 3$.

2. Построим числовую ось и разобьем ее на интервалы между найденными корнями:

   $(-\infty, -2), (-2, 2), (2, 3), (3, +\infty)$

3. Возьмем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения на каждом интервале:

   • Для $x = -3$ (интервал $(- \infty, -2)$): $\frac{(-3)^2 - 4}{(-3)^2 - 5(-3) + 6} = \frac{5}{24} > 0$, неравенство выполняется.

   • Для $x = 0$ (интервал $(-2, 2)$): $\frac{0^2 - 4}{0^2 - 5(0) + 6} = \frac{-4}{6} < 0$, неравенство не выполняется.

   • Для $x = 2.5$ (интервал $(2, 3)$): $\frac{2.5^2 - 4}{2.5^2 - 5(2.5) + 6} = \frac{0.25}{-0.25} < 0$, неравенство не выполняется.

   • Для $x = 4$ (интервал $(3, +\infty)$): $\frac{4^2 - 4}{4^2 - 5(4) + 6} = \frac{12}{10} > 0$, неравенство выполняется.

4. Итак, неравенство выполняется на интервалах $(- \infty, -2)$ и $(3, +\infty)$, а на интервалах $(-2, 2)$ и $(2, 3)$ не выполняется.

Таким образом, множество значений x, при которых исходное неравенство $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \geq 0$ выполняется, это $(- \infty, -2]$ объединено с $[3, +\infty)$.