Question

Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 — 7 различных корней?​

Answer 1

Ответ:

Ответ: Нет.

Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.

Пусть искомый многочлен f(x) существует.

Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).

Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.

Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).

То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.

Answer 2

Да, это возможно. Если квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня, это означает, что уравнение f(x) = 0 имеет два различных корня. Пусть эти корни будут a и b, где a ≠ b.

Теперь рассмотрим уравнение f(f(x)) = 0. Заменим x на f(x) и получим f(f(f(x))) = 0. Если уравнение f(x) = 0 имеет корни a и b, то уравнение f(f(x)) = 0 будет иметь корни f(a) и f(b), так как мы подставляем f(x) вместо x. Таким образом, если f(x) имеет 2 различных корня, то уравнение f(f(x)) = 0 будет иметь 2 различных корня f(a) и f(b).

Аналогично, уравнение f(f(f(x))) = 0 будет иметь корни f(f(a)), f(f(b)), так как мы подставляем f(f(x)) вместо x. Если f(a) ≠ f(b), то f(f(a)) ≠ f(f(b)), и уравнение f(f(f(x))) = 0 будет иметь 2 различных корня.

Теперь предположим, что f(a) = f(b). Тогда у нас есть два случая:

1. Если f(a) = f(b) ≠ a ≠ b, то у нас будет 3 различных корня для уравнения f(f(x)) = 0. Поскольку f(a) = f(b), уравнение f(f(f(x))) = 0 также будет иметь 3 различных корня.

2. Если f(a) = f(b) = a = b, то у нас будет только 1 корень для уравнения f(f(x)) = 0. В этом случае уравнение f(f(f(x))) = 0 также будет иметь только 1 корень.

Таким образом, в обоих случаях возможно, чтобы уравнение f(f(x)) = 0 имело 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 имело 7 различных корней.