Question

Найдите площадь фигуры y=x^2-x и y=-x^2+3x

Answer 1

Ответ: 2 2/3

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения, а затем вычислить определенный интеграл между этими точками. Давайте найдем точки пересечения кривых y = x^2 - x и y = -x^2 + 3x, решив систему уравнений:

x^2 - x = -x^2 + 3x

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

2x^2 - 4x = 0

Факторизуем это уравнение:

2x(x - 2) = 0

Из этого получаем два возможных значения для x: x = 0 и x = 2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы должны вычислить определенный интеграл между этими точками. Поскольку одна из кривых находится над другой в этом диапазоне, мы должны разделить интеграл на две части:

S = ∫[0,2] (x^2 - x - (-x^2 + 3x)) dx + ∫[2,0] (-x^2 + 3x - (x^2 - x)) dx

Упрощая выражение внутри каждого интеграла:

S = ∫[0,2] (2x^2 - 2x) dx + ∫[2,0] (-2x^2 + 4x) dx

Вычисляя каждый интеграл:

S = [2/3x^3 - x^2] [0,2] + [-2/3x^3 + 2x^2] [2,0]

Подставляя верхний и нижний пределы интегрирования:

S = (2/3 * 2^3 - 2^2) - (2/3 * 0^3 - 0^2) + (-2/3 * 0^3 + 2 * 0^2) - (-2/3 * 2^3 + 2 * 2^2)

S = (2/3 * 8 - 4) - (0 - 0) + (0 - 0) - (-2/3 * 8 + 2 * 4)

S = (16/3 - 4) - (0 - 0) + (0 - 0) - (-16/3 + 8)

S = 16/3 - 4 + 16/3 - 8

S = 32/3 - 12/3

S = 20/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - x и y = -x^2 + 3x, равна 20/3 или приблизительно 6.67 единиц квадратных.