Question

Помогите решить неравенство методом интервалов x^4-x^3+0.25x^20

Answer 1

х^4-х^3+1/4 х²<\0 умножаем обе части на 4.

4х^4-4х^3+х^2<\0

х^2×(4х^2-4х+1)<\0

Возможные случаи:

х^2<\0

(2х-1)^2>\0

х^2>\0

(2х-1)^2<\0

---------

х=0

х€R

x€R

x=1/2

Ответ: х=0, х=1/2

Answer 2

Для решения данного неравенства, которое имеет вид $x^4-x^3+0.25x^{20} > 0$, можно использовать метод интервалов.

1. Начнем с выражения $x^4-x^3+0.25x^{20}$ в виде произведения: $x^3(x-1)+0.25x^{20}$. Заметим, что $x^{20}$ всегда положительно, поэтому это выражение будет иметь то же самое поведение, что и $x^3(x-1)$.

2. Построим график функции $f(x) = x^3(x-1)$. Чтобы найти интервалы, где функция положительна, исследуем знаки функции на интервалах, разбивая их по корням функции $x^3(x-1) = 0$.

   • Интервал $(-\infty, 0)$: Подставим $x = -1$ в $f(x)$. Получим $f(-1) = (-1)^3((-1)-1) = -2$, что отрицательно.
   • Интервал $(0, 1)$: Подставим $x = \frac{1}{2}$ в $f(x)$. Получим $f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}-1\right) = -\frac{1}{16}$, что отрицательно.
   • Интервал $(1, \infty)$: Подставим $x = 2$ в $f(x)$. Получим $f(2) = 2^3(2-1) = 2$, что положительно.

3. Таким образом, функция $f(x) = x^3(x-1)$ положительна на интервале $(1, \infty)$. Это означает, что исходное неравенство $x^4-x^3+0.25x^{20} > 0$ верно на этом интервале.

Итак, решением данного неравенства является интервал $(1, \infty)$.