Question

С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x). ______________________________

Answer 1

$y=x-2\sin x;\ y'=1-2\cos x; y'=0\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}; x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$

$y''=2\sin x; x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\Rightarrow y''>0\Rightarrow \min;$

$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\Rightarrow y''$

Ответ: точки $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$ - точки минимума; в этих точках функция равна  $\frac{\pi}{3}+2\pi n-\sqrt{3}.$ Точки $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$ - точки максимума; в этих точках функция равна $-\frac{\pi}{3}+2\pi n+\sqrt{3}.$

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x - 2\sin(x)$ сначала найдем первую и вторую производные и приравняем их к нулю для поиска критических точек, а затем воспользуемся второй производной для определения типа экстремумов.

1. Найдем первую производную: $y = x - 2\sin(x)$ $y' = 1 - 2\cos(x)$

2. Найдем вторую производную: $y' = 1 - 2\cos(x)$ $y'' = 2\sin(x)$

3. Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю: $1 - 2\cos(x) = 0$ $\cos(x) = \frac{1}{2}$ $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}$

Теперь посмотрим на знак второй производной в критических точках:

• В точке $x = \frac{\pi}{3}$, $y'' = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} > 0$, следовательно, это минимум.
• В точках $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \neq 0$, $y'' = 2\sin\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} > 0$, также минимумы.

Таким образом, функция $y = x - 2\sin(x)$ имеет минимумы во всех критических точках $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.