Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной осью Ох и прямыми х=-2,х-3 и параболой у=4-х^2

Answer 1

$y=4-x^2\ ,\ \ y=0\ ,\ \ x=-2\ ,\ x=-3\\\\\\4-x^2=0\ \ ,\ \ (2-x)(2+x)=0\ \ ,\ \ x_1=-2\ ,\ x_2=2\\\\\\S=\int\limits^{-2}_{-3}\, (0-(4-x^2))\, dx=\int\limits^{-2}_{-3}\, (x^2-4)\, dx=\Big(\dfrac{x^3}{3}-4x\Big)\Big|_{-3}^{-2}=\\\\\\=\dfrac{-8}{3}+8-\Big(\dfrac{-27}{3}+12\Big)=\dfrac{19}{3}-4=\dfrac{7}{3}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, прямыми x = -2, x = -3 и параболой y = 4 - x^2, нужно найти точки пересечения параболы с прямыми и затем проинтегрировать функцию модуля разности координат параболы и прямых вдоль оси x в пределах этих точек.

1. Найдем точки пересечения параболы и прямых: Подставим x = -2 в уравнение параболы: y = 4 - (-2)^2 = 0. Подставим x = -3 в уравнение параболы: y = 4 - (-3)^2 = 13.

2. Теперь вычислим площадь трапеции между x = -2 и x = -3: Площадь трапеции можно представить как интеграл от модуля разности координат y = 4 - x^2 и прямых x = -2 и x = -3 по оси x: S = ∫[x=-2 to x=-3] |(4 - x^2) - (-2)| dx

   S = ∫[x=-2 to x=-3] (6 - x^2) dx

3. Вычислим интеграл: S = [6x - (x^3)/3] [x=-2 to x=-3] S = [6(-3) - ((-3)^3)/3] - [6(-2) - ((-2)^3)/3] S = (-18 + 9) - (-12 + 8/3) S = -9 - (-4/3) S = -27/3 + 4/3 S = -23/3

Итак, площадь криволинейной трапеции между осью Ox, прямыми x = -2, x = -3 и параболой y = 4 - x^2 равна -23/3 или приблизительно -7.67 единицы квадратные (если размерности x и y выражены в одних и тех же единицах).