Question

1)вычислить площадь фигуры ограниченной прямыми y=x+5 y=0 x=1 x=52) вычислить площадь ограниченной параболой y=4-x² и осью абсциссзаранее спасибо))))

Answer 1

....................................................................

Answer 2

Давайте решим каждую из задач.

1) Фигура, ограниченная прямыми y=x+5, y=0, x=1, x=5:

Сначала найдем точки пересечения прямых. Поставим уравнение y=x+5 равным нулю и решим относительно x:

\[x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5.\]

Теперь у нас есть точка пересечения с осью y. Также, у нас есть вертикальная линия x=1 и горизонтальная линия y=0, которые образуют прямоугольник. Площадь прямоугольника можно найти, вычислив разность между x-координатами левого и правого углов, и умножив ее на разность между y-координатами верхнего и нижнего углов:

\[S_{\text{прямоугольника}} = (5 - 1) \cdot (0 - (-5)) = 4 \cdot 5 = 20.\]

2) Фигура, ограниченная параболой y=4-x² и осью абсцисс:

Для вычисления площади под кривой параболы между двумя точками, нужно взять определенный интеграл от функции по оси x.

\[S_{\text{под кривой}} = \int_{a}^{b} (4 - x^2) \,dx,\]

где a и b - это x-координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс. Найдем эти точки:

\[4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2.\]

Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс -2 и 2. Теперь можем вычислить площадь:

\[S_{\text{под кривой}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx.\]

Вычислим этот интеграл:

\[S_{\text{под кривой}} = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}.\]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[S_{\text{под кривой}} = \left[ (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}) \right].\]

\[S_{\text{под кривой}} = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 - \frac{8}{3}).\]

\[S_{\text{под кривой}} = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.\]

Таким образом, площадь под кривой равна \(\frac{32}{3}.\)