Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:у=х^2 +6х+12; х=-1; х=-3; у = 0​

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2+6x+12;y=0;x_1=-3;x_2=-1;S=?.\\\int\limits^{-1}_{-3} {(x^2+6x+12-0)} \, dx =(\frac{x^3}{3}+3x^2+12x)|_{-3}^{-1}=\\=\frac{(-1)^3}{3} +3*(-1)^2+12*(-1)- (\frac{(-3)^3}{3} +3*(-3)^2+12*(-3))=\\=-\frac{1}{3}+3-12-(-9+27-36)=-\frac{1}{3} -9-( -18)=-9\frac{1}{3}+18=8\frac{2}{3}.$

Ответ: S≈8,667 кв. ед.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=х² +6х+12; х=-1; х=-3; у = 0​

Построим указанные кривые на координатной плоскости

у=х² +6х+12 - уравнение параболы. Однозначно строится по трем точкам. Вершина параболы находится в точке с координатами(-3;3).

Еще две точки найдем подставив координаты х = -1 и х = -3 в уравнение параболы

у(-3) = 9 - 18 + 12 = 3

у(-1) = 1 - 6 + 12 = 7

Координаты двух других точек (-3;3) и (-1;7)

Уравнения х=-1; х=-3 на координатной плоскости описывают прямые.

Данные прямые параллельны оси абсцисс  и проходят через точки (-1;0) и (-3;0) соответственно.

Прямая y=0 является осью ординат.

Фигура внутри полученного пересечения снизу ограничена прямой y=0 справа ограничена прямой х = -1, слева прямой х=-3, а сверху ограничена параболой у=х² +6х+12

Для нахождения площади фигуры найдем интеграл с пределами интегрирования от -3 до -1 и  функцией х² +6х+12

$S = \int\limits^{-1}_{-3} {(x^2+6x+12)} \, dx=\frac{x^3}{3}+3x^2+12x\left[\begin{array}{ccc}-1&\\-3\end{array}\right] = \frac{-1}{3}+3-12-(-\frac{27}{3}+27-36)= -\frac{1}{3}-9 +18 = 9-\frac{1}{3} = 8,67$

Answer 3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими линиями и кривой, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривой и линий, чтобы определить границы интегрирования.

2. Найти интеграл от функции y = x^2 + 6x + 12 по границам, которые вы найдете в предыдущем шаге.

3. Взять модуль полученного результата интеграла, так как площадь всегда положительна.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем точки пересечения кривой y = x^2 + 6x + 12 с осями координат и линиями x = -1 и x = -3.

Для нахождения точек пересечения с осями координат, установим y равным нулю и решим квадратное уравнение:

x^2 + 6x + 12 = 0

Дискриминант этого уравнения D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 12 = 36 - 48 = -12.

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение имеет комплексные корни. Однако для поиска площади нам нужны только вещественные корни. Таким образом, кривая ни разу не пересекает ось x и будет полностью выше или полностью ниже нее.

Теперь рассмотрим пересечение с линиями x = -1 и x = -3:

Для x = -1: y = (-1)^2 + 6*(-1) + 12 = 1 - 6 + 12 = 7

Для x = -3: y = (-3)^2 + 6*(-3) + 12 = 9 - 18 + 12 = 3

Итак, точки пересечения с линиями x = -1 и x = -3: (-1, 7) и (-3, 3).

2. Теперь мы можем найти интеграл от функции y = x^2 + 6x + 12 в пределах от x = -3 до x = -1:

∫[x=-3 to x=-1] (x^2 + 6x + 12) dx

3. Вычислим данный интеграл:

∫[x=-3 to x=-1] (x^2 + 6x + 12) dx = [x^3/3 + 3x^2 + 12x] from -3 to -1

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

= [(-1)^3/3 + 3*(-1)^2 + 12*(-1)] - [(-3)^3/3 + 3*(-3)^2 + 12*(-3)] = [-1/3 + 3 - 12] - [-27/3 + 27 - 36] = [-10] - [-10] = -10 + 10 = 0

4. Наконец, берем модуль результата, чтобы получить площадь фигуры:

|0| = 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^2 + 6x + 12, осью x и линиями x = -1 и x = -3, равна 0.