Question

Решить: 1. Найдите значение производной функции в точке x0 y=x35+5; x0=3 2. Найти наибольшее значение функции y=x3+3x2-9x-3 на отрезке [-8; 9] 3. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции fx=x2, осью абсцисс и прямыми x=2, x=5

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) y' = 35x^34

y'(3) = 35*3^34 = 5,8370136 × 10^17

2) y' = 3x^2 + 6x - 9 = 0    | :3

x^2 + 2x - 3 = 0

По Виета

x = -3  x = 1

         +                  -                  +        

__-8______-3_________1_____9____

               /                 \                 /

                 xmax              xmin

y(-3) = (-3)^3+3*(-3)^2-9*(-3) - 3 = 24

y(9) = (9)^3+3*(9)^2-9*(9)-3 = 888 - ymax

         5                                5

3) S = ∫x^2 * dx = 1/3 * x^3  |   =  125/3 - 8/3 = 39 кв.ед

         2                                2

Answer 2

Давайте решим ваши задачи по очереди:

1. Найдем значение производной функции y = x^3 + 5x в точке x₀ = 3. Для этого сначала найдем производную функции y по переменной x: y' = 3x^2 + 5.

Теперь подставим x₀ = 3 в полученное выражение для производной: y'(x₀) = 3 * 3^2 + 5 = 3 * 9 + 5 = 27 + 5 = 32.

Ответ: Значение производной функции в точке x₀ = 3 равно 32.

2. Найдем наибольшее значение функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 3 на отрезке [-8, 9]. Для этого найдем критические точки, где производная функции равна нулю или не существует, и значения функции в концах интервала.

Производная функции y по переменной x: y' = 3x^2 + 6x - 9.

Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: 3x^2 + 6x - 9 = 0.

Решим это уравнение: x^2 + 2x - 3 = 0, (x + 3)(x - 1) = 0.

Критические точки: x = -3 и x = 1.

Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах интервала: y(-8) = (-8)^3 + 3(-8)^2 - 9(-8) - 3 = -512 + 192 + 72 - 3 = -251, y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 3 = -27 + 27 + 27 - 3 = 24, y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 3 = 1 + 3 - 9 - 3 = -8, y(9) = 9^3 + 3(9)^2 - 9(9) - 3 = 729 + 243 - 81 - 3 = 888.

Сравним значения функции и выберем наибольшее: Наибольшее значение на отрезке [-8, 9] равно 888 и достигается при x = 9.

Ответ: Наибольшее значение функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 3 на отрезке [-8, 9] равно 888, при x = 9.

3. Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) = x^2, осью абсцисс и прямыми x = 2 и x = 5. Площадь такой трапеции можно найти как интеграл от модуля разности двух функций по переменной x на заданном интервале.

Площадь = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx, где f(x) = x^2 (график функции), a = 2, b = 5, и g(x) = 0 (ось абсцисс).

Подставляем значения и интегрируем: Площадь = ∫[2, 5] |x^2 - 0| dx = ∫[2, 5] x^2 dx = [x^3 / 3] |[2, 5] = (5^3 / 3) - (2^3 / 3) = (125 / 3) - (8 / 3) = 117 / 3 = 39.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) = x^2, осью абсцисс и прямыми x = 2 и x = 5, равна 39.