Question

Вычислить интеграл: ∫(x^3 dx)/(1+x^4 )

Answer 1

$\int \dfrac{x^3\, dx}{1+x^4}=\Big[\ d(1+x^4)=4x^3\, dx\ \Big]=\dfrac{1}{4}\int \dfrac{d(1+x^4)}{1+x^4}=\dfrac{1}{4}\cdot ln|1+x^4|+C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла воспользуемся заменой переменных. Пусть u = 1 + x^4, тогда du = 4x^3 dx. Решим это уравнение относительно dx:

dx = du / (4x^3).

Подставим это в исходный интеграл:

∫(x^3 dx) / (1 + x^4) = ∫(du / (4x^3)) / u = (1/4) ∫(du/u).

Интеграл ∫(du/u) равен ln|u| + C, где C - произвольная постоянная. Таким образом, получаем:

∫(x^3 dx) / (1 + x^4) = (1/4) ln|1 + x^4| + C.

Таким образом, интеграл равен (1/4) ln|1 + x^4| + C, где C - произвольная постоянная.