Question

Известно, что функция y=f(x) убывает на R. Решите неравенство f(|2x+7|)>f(|x-3|)

Answer 1

По определению убывающий функции решим нер-во:

|2x+7|<|x-3|

 x∈(-10, -4/3)

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам необходимо учесть условие, что функция y = f(x) убывает на всей числовой прямой R.

Давайте разобьем это на несколько шагов:

Шаг 1: Изучение аргументов функции Обратим внимание на аргументы функции в неравенстве: |2x + 7| и |x - 3|. Заметим, что оба аргумента являются выражениями в модулях. Шаг 2: Разбиение аргументов на интервалы Мы можем разбить каждый из аргументов на два интервала, в зависимости от значения выражения внутри модуля:

1) Для |2x + 7|: - Если (2x + 7) ≥ 0, то |2x + 7| = (2x + 7) - Если (2x + 7) < 0, то |2x + 7| = -(2x + 7)

2) Для |x - 3|: - Если (x - 3) ≥ 0, то |x - 3| = (x - 3) - Если (x - 3) < 0, то |x - 3| = -(x - 3)

Шаг 3: Составление неравенства в каждом интервале После разбиения аргументов на интервалы, мы можем составить неравенство f(|2x + 7|) > f(|x - 3|) для каждого интервала.

Давайте рассмотрим каждый интервал по отдельности:

1) Для (2x + 7) ≥ 0 и (x - 3) ≥ 0: В этом случае, |2x + 7| = (2x + 7) и |x - 3| = (x - 3). Так как функция y = f(x) убывает на всей числовой прямой, то нам нужно решить неравенство (2x + 7) > (x - 3) в данном интервале.

2) Для (2x + 7) < 0 и (x - 3) ≥ 0: В этом случае, |2x + 7| = -(2x + 7) и |x - 3| = (x - 3). Снова, так как функция убывает, мы решаем неравенство -(2x + 7) > (x - 3) в данном интервале.

3) Для (2x + 7) ≥ 0 и (x - 3) < 0: В этом случае, |2x + 7| = (2x + 7) и |x - 3| = -(x - 3). Нам нужно решить неравенство (2x + 7) > -(x - 3) в данном интервале.

4) Для (2x + 7) < 0 и (x - 3) < 0: В этом случае, |2x + 7| = -(2x + 7) и |x - 3| = -(x - 3). Снова, мы решаем неравенство -(2x + 7) > -(x - 3) в данном интервале.

Шаг 4: Решение каждого неравенства по отдельности Решим каждое из полученных неравенств:

1) Для (2x + 7) ≥ 0 и (x - 3) ≥ 0: (2x + 7) > (x - 3) Раскроем скобки: 2x + 7 > x - 3 Перенесем все переменные на одну сторону: 2x - x > -3 - 7 x > -10

2) Для (2x + 7) < 0 и (x - 3) ≥ 0: -(2x + 7) > (x - 3) Раскроем скобки и учтем, что при умножении неравенства на -1 меняется его направление: -2x - 7 > x - 3 Перенесем все переменные на одну сторону: -2x - x > -3 + 7 -3x > 4 x < -4/3

3) Для (2x + 7) ≥ 0 и (x - 3) < 0: (2x + 7) > -(x - 3) Раскроем скобки: 2x + 7 > -x + 3 Перенесем все переменные на одну сторону: 2x + x > 3 - 7 3x > -4 x > -4/3

4) Для (2x + 7) < 0 и (x - 3) < 0: -(2x + 7) > -(x - 3) Раскроем скобки и учтем, что при умножении неравенства на -1 меняется его направление: -2x - 7 > -x + 3 Перенесем все переменные на одну сторону: -2x + x > 3 + 7 -x > 10 x < -10

Шаг 5: Объединение интервалов Теперь, когда мы знаем значения x для каждого интервала, объединим результаты:

-10 < x < -4/3

Таким образом, решение данного неравенства f(|2x + 7|) > f(|x - 3|) на всей числовой прямой R является интервалом -10 < x < -4/3.