Question

Замените m, если возможно, каким-либо целым числом так, чтобы значение выражения (3а-1)(5а-3)-4(3а+1)(а-1)+m а) делилось на 3 при любом целом a б) не делилось на 3 ни при каком целом а в) делилось на 3 только при некоторых целых а

Answer 1

Сначала раскроем скобки и приведем подобные:
(3а-1)(5а-3)-4(3а+1)(а-1)+m = 15a^2 - 5a - 9a + 3 - 12a^2 - 4a + 12a + 4 + m = 3a^2 - 6a + 7 + m.
Теперь по пунктам:
а)  в получившемся выражении первые два слагаемых (те, которые содержат а и a^2) делятся на три (каждое из них) при любых а, потому что в них есть множитель, кратный трём (в первом слагаемом это 3, во втором - 6). Следовательно, чтобы вся сумма не делилась на 3 ни при каком а, нужно, чтобы 7 + m  не делилась на 3. Это условие выполняется при m = 0; 1; 3; 4; 6; 7; 9.

б) Это условие, по-моему, выполнить невозможно: при m = 2; 5 или 8 наше выражение будет делиться на 3 при любом а, и ничего с этим не поделаешь.