Question

Помогите срочно. Найти градиент функции z=x^2+y^2 в точке М(3;2). Пожалуйста,полностью расписанное решение.Пожалуйста.

Answer 1

Градиентом функции $z=f(x;\ y)$ называется вектор вида:

$\mathrm{grad} z=\dfrac{\partial z}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \vec{j}$

Для его получения найдем частные производные функции:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =(x^2+y^2)'_x=2x+0=2x$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =(x^2+y^2)'_y=0+2y=2y$

Подставим в формулу градиента:

$\mathrm{grad} z=2x\vec{i}+2y \vec{j}$

Вычислим значение градиента в точке М, то есть при $x=3$ и $y=2$:

$(\mathrm{grad} z)_M=2\cdot3\vec{i}+2\cdot2 \vec{j}$

$(\mathrm{grad} z)_M=6\vec{i}+4 \vec{j}$

Ответ: $6\vec{i}+4 \vec{j}$

Answer 2

Для нахождения градиента функции z = x^2 + y^2 в точке M(3;2), нам необходимо вычислить частные производные по переменным x и y и подставить значения координат точки M.

Частная производная по переменной x (обозначим её как ∂z/∂x) представляет собой производную функции z по x при фиксированном значении y. В данном случае, функция z = x^2 + y^2, поэтому ∂z/∂x = 2x.

Частная производная по переменной y (обозначим её как ∂z/∂y) представляет собой производную функции z по y при фиксированном значении x. В данном случае, функция z = x^2 + y^2, поэтому ∂z/∂y = 2y.

Теперь мы можем вычислить значения частных производных в точке M(3;2):

∂z/∂x = 2x = 2(3) = 6, ∂z/∂y = 2y = 2(2) = 4.

Таким образом, градиент функции z = x^2 + y^2 в точке M(3;2) будет представлен вектором (6, 4).