Question

Вычислите cos⁴(3π/2-2a) если cos(π-4a)=-1/3

Answer 1

Преобразуем известное равенство по формуле приведения:

$\cos(\pi -4\alpha )=-\dfrac{1}{3}$

$-\cos4\alpha =-\dfrac{1}{3}$

$\cos4\alpha =\dfrac{1}{3}$

Найдем значение искомого выражения:

$\cos^4\left(\dfrac{3\pi}{2}-2\alpha\right)=\sin^42\alpha=(\sin^22\alpha)^2=$

$=\left(\dfrac{1-\cos4\alpha }{2}\right)^2=\left(\dfrac{1-\frac{1}{3} }{2}\right)^2=\left(\dfrac{\frac{2}{3} }{2}\right)^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$

Ответ: 1/9

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими тождествами и информацией о значении cos(π-4a).

Известно, что: cos(π-θ) = -cos(θ)

Также дано: cos(π-4a) = -1/3

Сначала найдем значение a. Для этого решим уравнение: cos(π-4a) = -1/3

Так как cos(π-4a) = -1/3, то: -1/3 = -1/3

Это верно для любого значения a. Таким образом, у нас нет специфического значения a.

Теперь рассмотрим выражение cos⁴(3π/2-2a). Мы можем воспользоваться тригонометрической формулой: cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1

Подставим в данную формулу значение 3π/2-2a вместо θ: cos(2(3π/2-2a)) = 2cos²(3π/2-2a) - 1

Упростим угол внутри косинуса: 2(3π/2-2a) = 3π - 4a

Теперь можем подставить это значение обратно: cos(3π - 4a) = 2cos²(3π/2-2a) - 1

Так как cos(3π - 4a) = -cos(4a), то: -cos(4a) = 2cos²(3π/2-2a) - 1

Заметим, что cos(4a) = -cos(π-4a) = 1/3, так как cos(π-4a) = -1/3. Теперь у нас есть: -cos(4a) = 2cos²(3π/2-2a) - 1 -1/3 = 2cos²(3π/2-2a) - 1

Теперь найдем значение cos²(3π/2-2a): 2cos²(3π/2-2a) = 1 - 1/3 2cos²(3π/2-2a) = 2/3 cos²(3π/2-2a) = 1/3

И, наконец: cos⁴(3π/2-2a) = (cos²(3π/2-2a))² = (1/3)² = 1/9

Итак, cos⁴(3π/2-2a) = 1/9.