Question

19.(3 балла) Найдите промежутки возрастания функции f(х) = x^{3} - 6x^{2} - 15x - 2

Answer 1

f'(x) = 3х²-12х-15 = 3*(x²-4x-5)

x²-4x-5=0

D=4²+4*5=36

√D=6

X1=(4-6)/2=-1

X2=(4+6)/2=5

Функция возрастает от -∞ до -1 и от 5 до +∞

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания функции $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2$, нужно найти значения $x$, при которых производная функции $f'(x)$ положительна (то есть функция возрастает).

Сначала найдем производную функции $f(x)$: $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2$ $f'(x) = 3x^2 - 12x - 15$

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки: $3x^2 - 12x - 15 = 0$ $x^2 - 4x - 5 = 0$ $(x - 5)(x + 1) = 0$ $x = 5 \text{ или } x = -1$

Теперь создадим таблицу знаков, чтобы определить промежутки, на которых производная положительна (функция возрастает). Для этого выберем тестовые точки в каждом из интервалов: $(- \infty, -1)$, $(-1, 5)$ и $(5, +\infty)$.

$x$	$3x^2 - 12x - 15$
$-2$	$-21$
$0$	$-15$
$6$	$63$

Из таблицы видно, что на интервале $(-1, 5)$ производная $f'(x)$ положительна, следовательно, это интервал возрастания функции $f(x)$.

Итак, функция $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2$ возрастает на промежутке $(-1, 5)$.