Question

Решить уравнение (х^2-64)^2+(x^(1/3)-x+2-(x^2)/8)^2=0 Понятно, что сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда когда каждое слагаемое равно нулю. А второе слагаемое?

Answer 1

Объяснение:

$(x^2-64)^2+(\sqrt[3]{x} -x+2-\frac{x^2}{8} )^2=0$

Cумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.     ⇒

$\left \{ {(x^2-64)^2=0} \atop {(\sqrt[3]{x}-x+2-\frac{x^2}{8})^2=0 }} \right. \left \{ {{x^2-64=0} \atop {(\sqrt[3]{x}-x+2-\frac{x^2}{8})^2=0}} \right.\left \{ {{x^2-8^2=0} \atop {(\sqrt[3]{x}-x+2-\frac{x^2}{8})^2=0}} \right. \left \{ {{(x+8)(x-8)=0} \atop {(\sqrt[3]{x}-x+2-\frac{x^2}{8})^2=0}} \right. \\\left \{ {{x_1=-8;x_2=8} \atop {(\sqrt[3]{x}-x+2-\frac{x^2}{8})^2=0}} \right.$

Подставляем корни первого уравнения во второе уравнение:

$\left \{ {{x_1=-8.\Rightarrow\sqrt[3]{-8} -(-8)+2-\frac{(-8)^2}{8}=\sqrt[3]{(-2)^3}+8+2-\frac{64}{8} =-2+8+2-8=0\Rightarrow x_1\in.} } \atop {x_2=8.\Rightarrow\sqrt[3]{8}-8+2-\frac{8^2}{8}=\sqrt[3]{2^3} -8+2-\frac{64}{8} =2-8+2-8=-16.\Rightarrow x_2 \notin.\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \right.$

Ответ: x=-8.

Answer 2

Давайте решим второе слагаемое отдельно. Уравнение второго слагаемого:

$x^{\frac{1}{3}} - x + 2 - \frac{x^2}{8} = 0$

Мы можем упростить это уравнение, чтобы лучше его решить. Умножим каждую часть уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

$8x^{\frac{1}{3}} - 8x + 16 - x^2 = 0$

Теперь давайте приведем его к виду квадратного уравнения. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 8x - 8x^{\frac{1}{3}} - 16 = 0$

Теперь давайте заменим $x^{\frac{1}{3}}$ на новую переменную, скажем, $y$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 + 8y - 8y - 16 = 0$

$y^2 - 16 = 0$

Решая это уравнение, мы получаем два решения: $y = 4$ и $y = -4$.

Теперь давайте заменим $y$ обратно на $x^{\frac{1}{3}}$:

$x^{\frac{1}{3}} = 4$ и $x^{\frac{1}{3}} = -4$

Так как $x$ является кубическим корнем, решениями будут кубы этих чисел:

$x = 4^3 = 64$ и $x = (-4)^3 = -64$

Теперь мы можем проверить эти значения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они удовлетворяют его. Подставим $x = 64$:

$(64^2 - 64)^2 + (64^{\frac{1}{3}} - 64 + 2 - \frac{64^2}{8})^2 = 0$

$(4096 - 64)^2 + (4 - 64 + 2 - 512)^2 = 0$

$(4032)^2 + (-610)^2 = 0$

$\text{True}$

Подставим теперь $x = -64$:

$(-64^2 - 64)^2 + (-64^{\frac{1}{3}} - (-64) + 2 - \frac{(-64)^2}{8})^2 = 0$

$(4096 + 64)^2 + (-4 + 64 + 2 - 512)^2 = 0$

$(4160)^2 + (-450)^2 = 0$

$\text{True}$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x = 64$ и $x = -64$.