Question

Докажите что если а^2+b^2=c^2 то a b или c делятся на 5.

Answer 1

Объяснение:

Предположим, что это  не так. Тогда рассмотрим остатки при делении на 5 у a, b, c. Пусть квадрат - x, тогда какие остатки могут быть у x²:

У x возможные остатки при делении на 5 - 1, 2, 3, 4 => x² соответственно имеет остатки 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9 - остаток 4, 4 * 4 = 16 - остаток 1 при делении на 5 (x² = x * x) - нет 0 так как иначе какое - то число делится на 5. Потому и остатки у a², b², c² - только 1 и 4 и всё! Несложным перебором остатков a² +  b² пр делении на 5 (подставляя значения для a² и b²) - только 1 + 1 = 2, 1 + 4 = 4 + 1 = 5 - остаток 0, 4 + 4 = 8 - остаток 3. Таким образом в случае неверности доказываемого утверждения для с² нет возможного остатка - либо 2 и 3, которые невозможны, либо 0, который означает, что c делится на 5 (вообще, c² тогда делится на 5, но поскульку 5 простое, и c должно делится на 5). Противоречие. Значит, наше допущение неверно, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение поочередно для каждой переменной a, b и c.

Пусть у нас есть уравнение a^2 + b^2 = c^2, где a, b и c - целые числа.

1. Деление на 5 при a^2 + b^2 = c^2:

Предположим, что a не делится на 5. Тогда a может быть в одном из следующих остатков при делении на 5: 1, 2, 3 или 4.

• Если a ≡ 1 (mod 5), то a^2 ≡ 1 (mod 5).
• Если a ≡ 2 (mod 5), то a^2 ≡ 4 (mod 5).
• Если a ≡ 3 (mod 5), то a^2 ≡ 4 (mod 5).
• Если a ≡ 4 (mod 5), то a^2 ≡ 1 (mod 5).

В любом случае a^2 имеет остаток 1 или 4 при делении на 5.

Аналогично, предположим, что b не делится на 5. Тогда b может быть в одном из остатков: 1, 2, 3 или 4. И снова, b^2 будет иметь остаток 1 или 4 при делении на 5.

Сложим a^2 и b^2. Так как каждое из них имеет остаток 1 или 4 при делении на 5, их сумма (a^2 + b^2) также будет иметь остаток 2 (1 + 1), 5 (1 + 4) или 0 (4 + 4) при делении на 5.

Но мы также знаем, что c^2 делится на 5 (по предположению о том, что a^2 + b^2 = c^2). Это означает, что c^2 имеет остаток 0 при делении на 5.

Итак, у нас есть два случая:

• Если a^2 + b^2 имеет остаток 2 или 5 при делении на 5, а c^2 делится на 5, это противоречие.
• Следовательно, предположение, что a не делится на 5, было неверным. Таким образом, a делится на 5.

2. Деление на 5 при b^2 + c^2 = a^2:

Аналогично, можно показать, что если b^2 + c^2 делится на 5, то a также будет делиться на 5.

3. Деление на 5 при c^2 + a^2 = b^2:

Также можно доказать, что если c^2 + a^2 делится на 5, то b также будет делиться на 5.

Таким образом, мы доказали, что если a^2 + b^2 = c^2, то хотя бы одно из чисел a, b или c будет делиться на 5.