Question

Цифри тризначного числа записані у зворотньому порядку. Доведіть що різниця між отримаиним і заданим числом ділиться на 9.

Answer 1

Объяснение:

Пусть a - цифра разряда сотен, b - цифра разряда десятков, с - цифра разряда единиц заданного числа.

Тогда первоначальное число можно записать в виде:

100a + 10b + c.

Число, обратное заданному:

100c + 10b + a.

Разность между обратным и заданным числом:

100c + 10b + a - (100a + 10b + c) = 100c + 10b + a - 100a - 10b - c =

= 99с - 99a = 99(c - a)

Полученное число 99(c - a) делится на 9:

$\dfrac{99(c-a)}{9} =11(c-a)$

Задача доказана.

Answer 2

Давайте розглянемо це детальніше. Нехай задане тризначне число буде ABC, де A, B і C - цифри. Якщо цифри записані у зворотньому порядку, то це число буде записане як CBA.

Отримане число буде CBA - ABC, або (100C + 10B + A) - (100A + 10B + C), що спрощується до (99C - 99A) або 9(11C - 11A).

Таким чином, різниця між отриманим і заданим числом буде 9 помножене на (11C - 11A).

Оскільки (11C - 11A) є різницею двох чисел, обидва з яких діляться на 11, то саме це число також має бути кратним 11.

Отже, різниця між отриманим і заданим числом є добутком 9 і 11, тобто кратна 9.

Таким чином, ми довели, що різниця між отриманим і заданим числом ділиться на 9.