Question

Что называется определенным интегралом от функции игрек равно f от x на отрезке AB​

Answer 1

Пусть функция     $y=f(x)$      определена на отрезке     $[a;b]$

Разобьём отрезок произвольным образом на n  частей точками:

$a < x_{0}$

В каждом интервале произвольным образом выбираем точку

$c_{i}\in [x_{i-1};x_{i}]$

Cумма

$S_{n}=\Sigma^{i=n}_{i=1}f(c_{i})\cdot \Delta x_{i}$,

где       $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$    -  длина частичного отрезка   $[x_{i-1};x_{i}]$ ,

называется интегральной суммой функции $f(x)$  на отрезке   $[a;b]$.

Определенным интегралом от функции  $f(x)$   на отрезке   $[a;b]$ называется предел интегральных сумм  $S_{n}$,   при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю

$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx = \lim_{{ {{n \to \infty} \atop {max \Delta x_{i} \to 0}} \right. } f(c_{i})\cdot \Delta x_{i}$

Геометрическая интерпретация определённого интеграла - площадь криволинейной трапеции

Answer 2

Определенным интегралом от непрерывной функции $y = f(x)$ на промежутке $[a; \ b]$ называется приращение первообразной $F(x)$ этой функции, то есть

$\displaystyle \boxed{\int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)}$

Числа $a$ и $b$ соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Answer 3

Определенный интеграл от функции y = f(x) на отрезке [a, b] обозначается следующим образом:

∫[a, b] f(x) dx

Это означает, что мы интегрируем функцию f(x) по переменной x от точки a до точки b. Определенный интеграл представляет собой площадь под графиком функции f(x) на заданном отрезке.

Фактически, значение определенного интеграла равно разности между значениями неопределенного интеграла функции f(x) в точках b и a:

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

где F(x) - это первообразная функции f(x), то есть функция, производная которой равна f(x).