Question

30б. Наименьшее общее кратное двух (НОК) натуральных чисел больше наибольшего общего делителя (НОД) в 6 раз. Найдите эти числа, если известно, что разность чисел равна 12.

Answer 1

Ответ:

36, 24

Объяснение:

Пусть это числа а и в

НОК(а,в)=6*НОД(а,в); а=в+12; => а и в дают один остаток при делении на 3                  (1)

(Используем тождество НОК(f, g)*НОД(f, g)=f*g)

ав=6*НОД²(а, в) => aв делится на 3 => хотя бы одно из чисел а и в дает остаток 0 при делении на 3 => (1) => оба кратны 3. Пусть а=3с, в=3м.  

9см=6*НОД²(3с, 3м); c=m+4 => с и м имеют одну четность         (2)

9см=6*3²*НОД²(с, м)

см=6*НОД²(с, м) => см делится на 2 => хотя бы одно из чисел с и м четно => (2) => оба четны. Пусть с=2x, м=2у.

4ху=6*НОД²(2х, 2у); x=y+2 => x и y имеют одну четность            (3)

4ху=6*2²*НОД²(х, у);

ху=6*НОД²(х, у); => ху делится на 2 => хотя бы одно из чисел х и у четно => (3) => оба четны. Пусть x=2s, y=2t.

4st=6*НОД²(2s, 2t); s=t+1 => t и s - последовательные натуральные числа => НОД(t, s)=1                  (4)

4st=6*2²*НОД²(s, t)

st=6*НОД²(s, t) => (4) => st=6 => t(t+1)=6 => t²+t-6=0 => (t - натуральное) => t=2 => s=3

Тогда x=6, y=4. => с=12, м=8 => а=36, в=24

Answer 2

Пусть $a$ и $b$ - два натуральных числа, для которых даны условия:

1. НОК $(a, b)$ больше НОД $(a, b)$ в 6 раз: $\text{НОК}(a, b) = 6 \cdot \text{НОД}(a, b)$.
2. Разность чисел равна 12: $a - b = 12$.

Мы можем воспользоваться следующими свойствами НОК и НОД:

1. $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$.

Из условия 1, мы знаем, что $\text{НОК}(a, b) = 6 \cdot \text{НОД}(a, b)$.

Заметим, что разность чисел $a$ и $b$ равна 12, то есть $a = b + 12$.

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$:

$\text{НОД}(b + 12, b) \cdot 6 \cdot \text{НОД}(b + 12, b) = (b + 12) \cdot b$.

Раскроем НОД через свойство:

$\text{НОД}(b + 12, b) \cdot 6 \cdot \text{НОД}(b + 12, b) = (b + 12) \cdot b$.

Так как $\text{НОД}(b + 12, b)$ является делителем обоих чисел $b + 12$ и $b$, он не может быть больше $b$. Следовательно, он может быть равен только 1.

$6 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 1 = (b + 12) \cdot b$.

$36 = (b + 12) \cdot b$.

Теперь давайте попробуем разложить 36 на произведение двух целых чисел:

1 * 36, 2 * 18, 3 * 12, 4 * 9, 6 * 6.

Учитывая, что разность чисел $a$ и $b$ равна 12, мы видим, что $b$ не может быть равно 1, 2, 3 или 4. Остаются варианты $b = 6$ или $b = 9$.

Если $b = 6$, то $a = b + 12 = 18$. Если $b = 9$, то $a = b + 12 = 21$.

Таким образом, возможные пары чисел, удовлетворяющие условиям, это $(a, b) = (18, 6)$ или $(a, b) = (21, 9)$.