Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^2-6x+21/x^2-6x+11

Answer 1

$y=\dfrac{x^2-6x+21}{x^2-6x+11}=\dfrac{(x^2-6x+11)+10}{x^2-6x+11}=1+\dfrac{10}{x^2-6x+11}\\\\\\y'=\dfrac{-10\, (2x-6)}{(x^2-6x+11)^2}=\dfrac{-20\, (x-3)}{(x^2-6x+11)^2}=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x-3=0\ ,\ \underline{x=3}\\\\\\znaki:\ \ \ +++(3)---\\\\{}\qquad \qquad \ \ \, \nearrow\ \ \, (3)\ \ \ \searrow \\\\x_{max}=3\ \ ,\ \ y_{max}=1+\dfrac{10}{9-18+11}=1+\dfrac{10}{2}=1+5=6$

Наибольшее значение функции совпадает с    $y_{max}=6\ .$  Смотри рис.

Answer 2

y'=((x²-6x+21)/(x²-6x+11))'=((2x-6)*(x²-6x+11)-(2x-6)*(x²-6x+21))/(x²-6x+11)²

найдем критические точки.

(2x-6)*(x²-6x+11-x²+6x-21))/(x²-6x+11)²=-11*(2х-6)/(x²-6x+11)²

знаменатель всегда больше нуля. т.к. первый коэффициент положителен. а дискриминант отрицателен, 36-44=-8,    есть только одна критич. точка.  х=3  /2х-3=0/, при переходе через которую изменяет знак производная с плюса на минус. в этой точке максимум, равный который и будет наибольшим значением данной в условии функции.  y=(9-18+21)/(9-18+11)=12/2=6

_______3_______

   +           -

Ответ 6

Answer 3

Для нахождения наибольшего значения функции y = (x^2 - 6x + 21) / (x^2 - 6x + 11), давайте проанализируем функцию.

Заметим, что числители и знаменатели в данной функции являются квадратными трёхчленами. Мы можем попробовать упростить функцию, чтобы лучше понять её поведение.

Поделим числитель и знаменатель на общий множитель (x^2 - 6x + 11): y = (x^2 - 6x + 21) / (x^2 - 6x + 11) = (x^2 - 6x + 11 + 10) / (x^2 - 6x + 11) = 1 + 10 / (x^2 - 6x + 11).

Теперь мы видим, что данная функция может быть разбита на две части: константу 1 и второе слагаемое 10 / (x^2 - 6x + 11).

Мы знаем, что значения квадратных трёхчленов могут быть положительными или нулевыми (для некоторых значений x), но никогда не могут быть отрицательными. Это связано с тем, что квадратный трёхчлен имеет дискриминант (D = b^2 - 4ac), и если D < 0, то он не имеет корней, следовательно, он не может менять знак.

Поскольку второе слагаемое имеет знак плюс (10 / (x^2 - 6x + 11)), оно всегда будет положительным или нулевым. Таким образом, наибольшее значение функции будет достигаться при наибольшем значении второго слагаемого, которое соответствует наименьшему значению (x^2 - 6x + 11). Найдем минимум этого квадратного трёхчлена.

Для нахождения минимума x^2 - 6x + 11 давайте воспользуемся методом завершения квадрата: x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2.

Минимальное значение (x - 3)^2 равно нулю (когда x = 3), и добавление 2 не изменяет знак, так как 2 положительно. Таким образом, наименьшее значение x^2 - 6x + 11 равно 2.

Теперь мы можем вернуться к исходной функции: y = 1 + 10 / (x^2 - 6x + 11).

Наибольшее значение функции будет достигаться, когда второе слагаемое минимально, то есть равно 10 / 2 = 5. Таким образом, наибольшее значение функции равно: y = 1 + 5 = 6.

Итак, наибольшее значение функции y = (x^2 - 6x + 21) / (x^2 - 6x + 11) равно 6.