Question

Найдите длину промежутка убывания функции у=х²-24ln(x+4)-1

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2-24*ln(x+4)-1\\y'=(x^2-24*ln(x+4)-1)'=2x-\frac{24}{x+4} \\2x-\frac{24}{x+4}$

-∞ __-__-6__+__-4__-__2__+__ +∞    ⇒

x∈(-∞;-6)U(-4;2).

(-∞;-6) - открытый числовой интервал;

(-4;2) - интервал (промежуток).    ⇒

2-(-4)=2+4=6.

                                                Ответ:

длина промежутка убывания функции у=х²-24ln(x+4)-1 равна 6.

Answer 2

Для нахождения длины промежутка убывания функции, мы должны определить интервалы, на которых функция убывает, и затем найти длину самого большого из этих интервалов.

Для начала найдем производную функции у по переменной х:

у = х² - 24ln(x + 4) - 1

Производная:

у' = 2х - 24 / (x + 4)

Чтобы найти интервалы, на которых функция убывает, мы должны решить уравнение у' < 0:

2х - 24 / (x + 4) < 0

Умножим обе стороны на (x + 4), не забывая учитывать знак при умножении на отрицательное число:

2х(x + 4) - 24 < 0

2х² + 8х - 24 < 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Мы видим, что коэффициент перед х² положителен, что означает, что парабола открывается вверх. Значит, интервал убывания будет между корнями уравнения 2х² + 8х - 24 = 0.

Применим квадратную формулу или факторизацию, чтобы найти корни:

2х² + 8х - 24 = 0

х² + 4х - 12 = 0

(х + 6)(х - 2) = 0

Корни: х = -6 и х = 2

Итак, функция убывает на интервале (-6, 2).

Длина этого интервала равна разности этих двух точек:

Длина = 2 - (-6) = 8

Итак, длина промежутка убывания функции у = х² - 24ln(x + 4) - 1 равна 8.