Question

Решите 2 примера Найти длину промежутка возрастания функции y = 7 + 12x – x3. Найти длину промежутка убывания функции y = x3 – 48x + 17.

Answer 1

Решение во вложении......

Answer 2

Для решения первого примера, найдем производную функции y = 7 + 12x - x^3:

y' = 12 - 3x^2

Промежутки возрастания функции соответствуют значениям x, для которых производная положительна. Решим неравенство:

12 - 3x^2 > 0

Разложим его на множители:

3(4 - x^2) > 0

Теперь найдем значения x, при которых выражение в скобках равно нулю:

4 - x^2 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

Из этого получаем две точки: x = 2 и x = -2.

Теперь мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить знак выражения 3(4 - x^2) и, следовательно, промежутки возрастания функции:

x | -∞ | -2 | 2 | +∞

3(4 - x^2)| - | + | - | +

Из таблицы видно, что выражение 3(4 - x^2) положительно на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞). То есть, функция y = 7 + 12x - x^3 возрастает на этих интервалах.

Чтобы найти длину промежутка возрастания, нужно найти разность между правым и левым концами этих интервалов:

Длина промежутка возрастания = (-2) - (-∞) + (+∞) - 2 = +∞

Ответ: Длина промежутка возрастания функции y = 7 + 12x - x^3 равна плюс бесконечности.

Теперь решим второй пример для функции y = x^3 - 48x + 17. Найдем производную:

y' = 3x^2 - 48

Промежутки убывания функции соответствуют значениям x, для которых производная отрицательна. Решим неравенство:

3x^2 - 48 < 0

Разложим его на множители:

3(x^2 - 16) < 0

Теперь найдем значения x, при которых выражение в скобках равно нулю:

x^2 - 16 = 0

(x - 4)(x + 4) = 0

Из этого получаем две точки: x = 4 и x = -4.

Построим таблицу знаков, чтобы определить знак выражения 3(x^2 - 16) и, следовательно, промежутки убывания функции:

x | -∞ | -4