Question

Найдите все пары целых чисел х и у, при которых справедливо равенство: 2) x^2-8=y^2+4y

Answer 1

Ответ:

(2;-2), (-2;-2)

Объяснение:

x²-4=y²+4y+4

x²-(y+2)²=4

(x-y-2)(x+y+2)=4

[x-y-2 + x+y+2=2x - число четное => четность (x-y-2) и (x+y+2) совпадает] => Т.к. 4=2², возможны 2 случая:

[1] {x-y-2=2, {x+y+2=2;

{x-y=4, {x+y=0;

{x=2, {y=-2;

[2] {x-y-2=-2, {x+y+2=-2;

{x-y=0, {x+y=-4;

{x=-2, {y=-2;

Answer 2

Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно переменной x. Давайте попробуем его решить.

Исходное уравнение: x^2 - 8 = y^2 + 4y

Перенесем все члены на одну сторону уравнения: x^2 - y^2 - 4y - 8 = 0

Мы видим, что это уравнение является квадратным трехчленом относительно x. Для решения мы можем применить метод завершения квадрата.

Добавим и вычтем (4/2)^2 = 4 на левой стороне уравнения, чтобы завершить квадрат для переменной x:

x^2 - y^2 - 4y + 4 - 4 - 8 = 0

Теперь группируем квадратные члены и константу:

(x^2 - y^2 - 4y + 4) - 12 = 0

Раскроем квадратный трехчлен и упростим:

(x - y - 2)^2 - 12 = 0

Теперь приравняем к нулю:

(x - y - 2)^2 = 12

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение, связывающее квадрат разности переменных x и y с числом 12.

Давайте переберем целочисленные значения квадрата разности (x - y - 2)^2 и найдем соответствующие значения x и y:

(x - y - 2)^2 = 12

Попробуем разные значения:

1. (x - y - 2)^2 = 12 x - y - 2 = ±√12 = ±2√3

   Рассмотрим случай x - y - 2 = 2√3:

   x - y = 2 + 2√3

   Пробуем различные целочисленные значения x и y:

   • x = 3, y = 1
   • x = 4, y = 2

   Рассмотрим случай x - y - 2 = -2√3:

   x - y = 2 - 2√3

   Этот случай не приводит к целочисленным значениям x и y.

Итак, у нас есть две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

1. (x, y) = (3, 1)
2. (x, y) = (4, 2)

Это все целочисленные пары (x, y), которые удовлетворяют данному уравнению.