Question

Доказать что данное выражение является рациональным числом 2 / (√7 - 3) - 2 / (√7 + 3)

Answer 1

$\dfrac{2}{\sqrt{7}-3 } -\dfrac{2}{\sqrt{7}+3 }=\dfrac{2(\sqrt{7}+3 )}{(\sqrt{7}-3 )(\sqrt{7}+3 )}-\dfrac{2(\sqrt{7}-3 )}{(\sqrt{7}+3 )(\sqrt{7}-3 )} =$

$=\dfrac{2(\sqrt{7}+3 )-2(\sqrt{7}-3 )}{(\sqrt{7}-3 )(\sqrt{7}+3 )}=\dfrac{2\sqrt{7}+6-2\sqrt{7}+6}{(\sqrt{7})^2-3^2}=\dfrac{12}{7-9}=\dfrac{12}{-2}=-6\in \mathbb{Q}$

Answer 2

Для того чтобы доказать, что данное выражение является рациональным числом, давайте попробуем упростить его и представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.

Исходное выражение: $\frac{2}{\sqrt{7} - 3} - \frac{2}{\sqrt{7} + 3}$

Для начала, заметим, что это выражение содержит сопряженные (конюгированные) элементы в знаменателях. Вспомним, что для сопряженных комплексных чисел $a$ и $b$ выполняется: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Применим это свойство к нашему выражению: $\frac{2}{\sqrt{7} - 3} - \frac{2}{\sqrt{7} + 3} = \frac{2(\sqrt{7} + 3)}{(\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} + 3)} - \frac{2(\sqrt{7} - 3)}{(\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} + 3)}$

Умножим числитель первой дроби и числитель второй дроби: $= \frac{2(\sqrt{7} + 3) - 2(\sqrt{7} - 3)}{(\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} + 3)}$

Упростим числители: $= \frac{2\sqrt{7} + 6 - 2\sqrt{7} + 6}{(\sqrt{7})^2 - (3)^2}$

$= \frac{12}{7 - 9}$

$= \frac{12}{-2}$

$= -6$

Таким образом, данное выражение равно -6, что является рациональным числом, так как может быть представлено в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.