Question

даны вершины Триугольника АВС: А(-2,4), В(3,1), С(10,7) Найти: а) уравнение прямой проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; б) расстояние от точки С до прямой АВ.

Answer 1

Ответ:

а) y =-0,6x +13

б) 51/√34 ≈ 8,75 ед.

Объяснение:

а). Уравнение прямой АВ:

(X - Xa)/(Xb-Xa) = (Y-Ya)/(Yb-Ya) (формула) =>

(x+2)/(5 = (y-4)/(-3)  =>  5y = -3x + 14 =>  

y = (-0,6)x +2,8.

Уравнение прямой, проходящей через точку С(10;7) параллельно прямой АВ по формуле:

(y - Yc) = k(x - Xc)  =>  y - 7 = (-0,6)(x -10)   =>

y =-0,6x +13

б). Расстояние от точки М(Xm;Ym) до прямой Ax +By +C = 0 находится по формуле:

d = (A·Xm + B·Ym +C)/√(A²+B²).

В нашем случае уравнение прямой АВ: 3x + 5y - 14 =0.

Точка С(10:7). Тогда расстояние равно:

d = (3·10 +5·7 + (-14)/√(3²+5²) = 51/√34 ≈ 51/5,83 ≈ 8,75 ед.

Или так:

Площадь треугольника АВС, заданного координатами его вершин найдем по формуле:

S=(1/2)[(X1-X3)(Y2-Y3)-(X2-X3)(Y1-Y3)].  =>

S = (1/2)[(-2-10)(1-7)-(3-10)(4-7)] = 51/2 = 25,5.

Тогда высота СН к стороне АВ при модуле АВ, равном |AB| = √(5²+(-3)²) = √34:

СН = 2S/AB = 51/√34 ≈ 51/5,83 ≈ 8,75 ед.

Answer 2

а) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через вершину С и параллельной стороне AB, мы можем воспользоваться тем фактом, что вектор направления прямой, параллельной данной, будет иметь тот же направляющий вектор, что и сторона AB.

Направляющий вектор стороны AB: AB = В - А = (3, 1) - (-2, 4) = (3 + 2, 1 - 4) = (5, -3).

Так как вершина С лежит на искомой прямой, мы можем использовать этот направляющий вектор и координаты точки С, чтобы записать уравнение прямой в векторном виде:

r = С + t * AB,

где r - радиус-вектор точки на прямой, t - параметр, а AB - направляющий вектор.

Преобразуем это уравнение в координатную форму:

x = x₀ + t * a, y = y₀ + t * b,

где (x₀, y₀) - координаты точки С, a и b - компоненты вектора AB.

Итак, подставляя значения: x = 10 + 5t, y = 7 - 3t.

б) Чтобы найти расстояние от точки C до прямой AB, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до прямой. Формула выглядит следующим образом:

d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2),

где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой Ax + By + C = 0, подставленные из уравнения AB, и x, y - координаты точки C.

Уравнение AB имеет вид 5x + 3y + D = 0. Подставляя координаты точки C(10, 7), мы можем найти D:

5 * 10 + 3 * 7 + D = 0, 50 + 21 + D = 0, D = -71.

Теперь, используя формулу расстояния:

d = |5 * 10 + 3 * 7 - 71| / √(5^2 + 3^2), d = |50 + 21 - 71| / √(25 + 9), d = |0| / √34, d = 0 / √34, d = 0.

Таким образом, расстояние от точки C до прямой AB равно 0. Это означает, что точка C лежит на прямой AB.