Question

В группе 16 учеников. Учителю нужно выбрать 4 учеников для участия в математической регате. У учителя есть несколько пожеланий: 1) Хулигана Васю брать точно нельзя. 2) Лучший геометр в параллели - Петя - однозначной будет в команде. 3) А близняшек Аню и Таню нельзя разлучать нив коем случае. Сколько у учителя способов собрать команды с учетом всех трех пожеланий?

Answer 1

Изначально нужно сделать выбор 4 из 16 учеников без учета порядка, так как в конченом итоге они все окажутся в команде.

Теперь рассмотрим пожелания и внесем коррективы в этот выбор.

1) "Хулигана Васю брать точно нельзя"

Это означает, что выбирать мы теперь будем не из 16, а из 15 человек.

2) "Лучший геометр в параллели - Петя - однозначно будет в команде"

Это означает, что нам нужно выбрать не 4, а 3 человек, а также выбирать мы будем не из 15, а из 14 человек.

3) "А близняшек Аню и Таню нельзя разлучать ни в коем случае"

Рассмотрим две ситуации.

Первая ситуация. Аня и Таня попали в команду. Тогда, так как в команде точно есть еще и Петя, в ней осталось всего одно свободное место. Незадействованных учеников осталось 12 и любого из них можно добрать в команду. Таким образом, в этом случае мы имеем 12 вариантов.

Вторая ситуация. Аня и Таня не попали в команду. Тогда, в команде есть три свободных места, которые нужно заполнить, выбирая из оставшихся 12 учеников. Чтобы определить число способов это сделать, нужно посчитать число сочетаний из 12 по 3:

$C_{12}^3=\dfrac{12!}{3!\cdot(14-3)!} =\dfrac{12\cdot11\cdot10}{1\cdot2\cdot3} =220$

Таким образом, в этом случае мы имеем 220 вариантов.

Но так как первая и вторая ситуация несовместны (Аня и Таня не могут одновременно быть и не быть в команде), то полученные количества вариантов нужно сложить. Итого, число способов собрать команду:

$12+220=232$

Ответ: 232 способа

Answer 2

Есть несколько способов подойти к решению этой задачи. Один из способов - использовать методы подсчета и комбинаторики.

1. Из 16 учеников нужно выбрать 4 для участия в регате.
2. Поскольку Васю брать нельзя, то у нас остается 15 учеников для выбора.
3. Поскольку Петя обязательно должен быть в команде, то нам остается выбрать 3 учеников из оставшихся 14.
4. Поскольку Аню и Таню нельзя разлучать, мы должны либо выбрать их обеих, либо не выбирать ни одну из них.

Таким образом, у нас есть две вариации:

1. Выбрать Аню и Таню, а также 1 ученика из оставшихся 12 (так как уже выбрано 3 ученика).
2. Не выбирать ни Аню, ни Таню, и выбрать 3 ученика из оставшихся 12.

Суммируя оба случая, получаем общее количество способов:

Способы = (выбрать Аню и Таню) + (не выбирать Аню и Таню) Способы = (1 способ выбрать Аню) * (1 способ выбрать Таню) * (количество способов выбрать 1 из 12) + (количество способов выбрать 3 из 12)

Способы = 1 * 1 * C(12, 1) + C(12, 3) Способы = 12 + 220 Способы = 232

Итак, у учителя есть 232 способа собрать команды с учетом всех трех пожеланий.