Question

3ax^2-2(7a+3)x+3a^2+30=0 Найти множество значений параметра a, при которых число 3 находится между корнями квадратного уравнения

Answer 1

3ax²-2(7a+3)x+3a²+30

3ax²-14ax-6x+3a²+30

Answer 2

Для того чтобы найти множество значений параметра a, при которых число 3 находится между корнями данного квадратного уравнения, мы можем использовать свойство дискриминанта.

У нас есть квадратное уравнение вида: $3ax^2 - 2(7a+3)x + 3a^2 + 30 = 0.$

Запишем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac,$ где $a = 3a$, $b = -2(7a+3)$, и $c = 3a^2 + 30$.

Так как нам интересно условие, при котором число 3 находится между корнями уравнения, давайте рассмотрим два случая:

1. Когда дискриминант $D$ положителен: $D > 0.$

2. Когда один из корней меньше 3, а другой больше 3: $x_1 < 3 < x_2$ или $x_1 > 3 > x_2$.

Рассмотрим первое условие: $D > 0$. $D = (-2(7a+3))^2 - 4 \cdot 3a \cdot (3a^2 + 30) > 0.$ Упростим неравенство: $4(49a^2 + 42a + 9) - 12a(3a^2 + 30) > 0.$ $196a^2 + 168a + 36 - 36a^3 - 360a > 0.$ $-36a^3 + 196a^2 - 192a + 36 > 0.$

После деления на -1: $36a^3 - 196a^2 + 192a - 36 < 0.$

Рассмотрим второе условие: один корень меньше 3, а другой больше 3. $x_1 < 3 < x_2 \quad \text{или} \quad x_1 > 3 > x_2.$

Для первого случая: $x_1 < 3 < x_2$ $x_1 - 3 < 0 \quad \text{и} \quad x_2 - 3 > 0.$

Для второго случая: $x_1 > 3 > x_2$ $x_1 - 3 > 0 \quad \text{и} \quad x_2 - 3 < 0.$

Таким образом, мы должны решить системы неравенств:

1. Для первого случая:

36a^3 - 196a^2 + 192a - 36 < 0 \\ x_1 - 3 < 0 \\ x_2 - 3 > 0 \end{cases}\] 2. Для второго случая: \[\begin{cases} 36a^3 - 196a^2 + 192a - 36 < 0 \\ x_1 - 3 > 0 \\ x_2 - 3 < 0 \end{cases}\] Решение этих систем неравенств довольно сложное и может потребовать графического анализа или численных методов. Если у вас есть конкретные значения, которые вы хотели бы проверить, я могу помочь вам с вычислениями.