Question

При каких а имеет единственное решение уравнение (√(x^2-3ax+8)+√(x^2-3ax+8))^x+(√(x^2-3ax+8)-√(x^2-3ax+8))^x=2(√2)^x

Answer 1

$[ \sqrt{(x^2-3ax+8)} + \sqrt{(x^2-3ax+8)} \ ] \ ^x + \\ \\ + [ \sqrt{(x^2-3ax+8)} - \sqrt{(x^2-3ax+8)} \ ] \ ^x = 2 (\sqrt{x} )^x$

Пусть $(x^2-3ax+8) = b$

$( \sqrt{b} + \sqrt{b} \ )^x + ( \sqrt{b} - \sqrt{b} \ )^x = 2 (\sqrt{2} )^x$

$( 2\sqrt{b}\ )^x + 0 ^x = 2 (\sqrt{2} )^x$

!!! Здесь нужно отметить важное замечание.
Пусть второе слагаемое $0^x$ будет равно числу q , а 0=d тогда запишем в общем виде
$d^x = q$
если решить это выражение в общем виде, то
$x = log_d \ q$ 
правая часть представляет собой логарифм, который имеет смысл при
$d\ \textgreater \ 0, \ d \neq 1, \ q \ \textgreater \ 0$

Тогда делаем заключение
1) либо ошибка в условии задачи
2) либо НЕТ РЕШЕНИЯ

Ответ: НЕТ РЕШЕНИЯ

Дальше решение не имеет смысла, но предположим при подведении подобных мы не обратили внимание на это, тогда

$( 2\sqrt{b}\ )^x = 2 (\sqrt{2} )^x$

$\frac{( 2\sqrt{b}\ )^x}{(\sqrt{2} )^x} = 2 \\ \\ ( \sqrt{2} \sqrt{b}\ )^x} = 2$

$( \sqrt{2b})^x = 2 \\ \\ x = log_{ \sqrt{2b} } \ 2 = 2*log_{2b} } \ 2 = log_{2b} } \ 4$

ОДЗ логарифма

$\left \{ {{2b\ \ \textgreater \ \ 0 } \atop {2b \ \neq \ 1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b\ \ \textgreater \ \ 0 } \atop {b \ \neq \ 0,5}} \right.$

делаем обратную замену

$x^2-3ax+8 \ \textgreater \ 0$

Квадратный трехчлен больше ноля, когда $a\ \textgreater \ 0, \ D \ \textless \ 0$
тогда
$D = b^2 - 4ac \ \textless \ 0 \\ \\ (-3a)^2 - 4 * 1 *8 \ \textless \ 0$

$9a^2 \ \textless \ 32 \\ \\ a^2 \ \textless \ \frac{32}{9}$

$- \frac{4 \sqrt{2} }{3} \ \textless \ a \ \textless \ \frac{4 \sqrt{2} }{3}$

Кроме того, квадратный трехчлен имеет одно решение, если D = 0

$D = b^2 - 4ac = 0 \\ \\ (-3a)^2 - 4 * 1 *8=0 \\ \\ a = \pm \frac{4 \sqrt{2} }{3}$

Найденные значения "а" не принадлежат ОДЗ, найденное выше.

Ответ: НЕТ РЕШЕНИЯ

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение подробнее и найдем его решение.

Уравнение имеет следующий вид:

(√(x^2-3ax+8) + √(x^2-3ax+8))^x + (√(x^2-3ax+8) - √(x^2-3ax+8))^x = 2√2^x

Мы можем заметить, что оба слагаемых в левой части уравнения имеют одинаковую разность квадратов внутри корней. Давайте проведем вычисления для упрощения уравнения.

Пусть a = √(x^2-3ax+8). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

(a + a)^x + (a - a)^x = 2√2^x

2^x + 0^x = 2√2^x

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 1: x ≠ 0

Если x ≠ 0, то мы можем сократить 2^x с обеих сторон уравнения:

1 + 0 = 2√2^x

1 = 2√2^x

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

1^2 = (2√2^x)^2

1 = 4 * 2^x

1 = 4√2^x

Теперь снова возведем обе стороны уравнения в квадрат:

1^2 = (4√2^x)^2

1 = 16 * 2^x

1 = 16√2^x

Теперь мы можем решить это уравнение, выражая x:

1 = 2^(4 + x)

1 = 2^4 * 2^x

1 = 16 * 2^x

2^x = 1/16

x = log2(1/16)

x = -4

Таким образом, при x ≠ 0 уравнение имеет единственное решение x = -4.

Случай 2: x = 0

Если x = 0, то мы получаем следующее уравнение:

(√(0^2-3a*0+8) + √(0^2-3a*0+8))^0 + (√(0^2-3a*0+8) - √(0^2-3a*0+8))^0 = 2√2^0

1 + 0 = 2

1 = 2

Это уравнение не имеет решений при x = 0.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение x = -4 при x ≠ 0 и не имеет решений при x = 0.