Question

Как не выполняя построения,найти точки пересечения графиков линейных функций? пожалуйста объясните подробно и покажите на примере

Answer 1

Всего лишь нужно приравнять функции:
Например есть функции y = x+1 и y = 2x-5
Тогда:
x+1 = 2x-5
x = 6
x точки пересечения мы нашли
Далее подставляем в любое из уравнений этот х
y = 6+1 = 7
И мы нашли y точки пересечения
Ответ:
(6;7)

Answer 2

Для поиска точек пересечения графиков линейных функций без их построения можно воспользоваться методом подстановки или методом равенства значений. Давайте разберем оба метода на примере.

Предположим, у нас есть две линейные функции:

1. $f(x) = ax + b$
2. $g(x) = cx + d$

И мы хотим найти точку пересечения $(x_0, y_0)$, то есть значение $x_0$, на котором оба графика имеют одинаковое значение $y_0$.

Метод подстановки:

1. Приравняйте выражения $f(x)$ и $g(x)$:

   $ax + b = cx + d$

2. Решите полученное уравнение относительно $x$:

   $ax - cx = d - b$
   $x(a - c) = d - b$
   $x = \frac{d - b}{a - c}$

3. Подставьте найденное значение $x$ в одно из уравнений $f(x)$ или $g(x)$, чтобы найти соответствующее значение $y$:

   Например, используем $f(x)$:

   $y_0 = f(x_0) = a \cdot \frac{d - b}{a - c} + b$

Пример:

Рассмотрим графики двух функций:

1. $f(x) = 2x + 3$
2. $g(x) = -x + 8$

Найдем точку их пересечения, используя метод подстановки:

1. Приравняем выражения:

   $2x + 3 = -x + 8$

2. Решим уравнение относительно $x$:

   $2x + x = 8 - 3$
   $3x = 5$
   $x = \frac{5}{3}$

3. Подставим значение $x$ в $f(x)$, чтобы найти $y$:

   $y_0 = f\left(\frac{5}{3}\right) = 2 \cdot \frac{5}{3} + 3 = \frac{10}{3} + 3 = \frac{19}{3}$

Таким образом, точка пересечения графиков этих функций имеет координаты $\left(\frac{5}{3}, \frac{19}{3}\right)$.

Метод равенства значений:

1. Приравняйте выражения $f(x)$ и $g(x)$:

   $ax + b = cx + d$

2. Приравняйте также значения $y$ для обоих функций:

   $ax + b = y$
   $cx + d = y$

3. Решите систему уравнений относительно $x$ и $y$.

Пример:

Рассмотрим те же функции:

1. $f(x) = 2x + 3$
2. $g(x) = -x + 8$

Найдем точку их пересечения, используя метод равенства значений:

1. Приравняем выражения $f(x)$ и $g(x)$:

   $2x + 3 = -x + 8$

2. Приравняем значения $y$:

   $2x + 3 = -x + 8 = y$

3. Решим систему уравнений относительно $x$ и $y$:

   $2x + 3 = y$
   $-x + 8 = y$

   Так как оба уравнения равны $y$, мы можем приравнять их:

   $2x + 3 = -x + 8$

   Решив это уравнение, получим $x = \frac{5}{3}$.

4. Подставим $x$ в одно из уравнений для нахождения $y$ 0 0