Question

Найти частное решение дифференциального уровнения xdx+ydy=0, если y=4 при x=3

Answer 1

Ответ:

$xdx + ydy = 0 \\ \int\limits \: ydy = - \int\limits \: xdx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = - \frac{ {x}^{2} }{2} + C \\ {y}^{2} = - {x}^{2} + C$

общее решение

$y(3) = 4$

${4}^{2} = - {3}^{2} + C \\ C= 16 + 9 = 25$

${y}^{2} = 25 - {x}^{2}$

частное решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

У нас дано уравнение: xdx + ydy = 0.

Давайте разделим переменные, переместив все члены, содержащие x, на одну сторону, а все члены, содержащие y, на другую сторону:

xdx = -ydy.

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:

∫xdx = -∫ydy.

Проинтегрируем обе части:

(x^2)/2 = - (y^2)/2 + C,

где C - постоянная интегрирования.

Теперь давайте найдем значение постоянной C, используя условие, что y=4 при x=3.

Подставим x=3 и y=4 в уравнение:

(3^2)/2 = - (4^2)/2 + C,

9/2 = - 16/2 + C,

9/2 = -8 + C,

C = 9/2 + 8,

C = 9/2 + 16/2,

C = 25/2.

Таким образом, мы нашли значение постоянной C.

Итак, частное решение дифференциального уравнения xdx + ydy = 0 с условием y=4 при x=3 равно:

(x^2)/2 = - (y^2)/2 + 25/2.