Question

ПОМОГИТЕ ПЖ.НАЙТИ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. ydy-xdx=dx, y(3)=5

Answer 1

$y\, dy-x\, dx=dx\ \ \ ,\ \ \ y(3)=5\\\\y\, dy=(x+1)\, dx\\\\\int y\, dy=\int (x+1)\, dx\\\\\dfrac{y^2}{2}=\dfrac{(x+1)^2}{2}+\dfrac{C}{2}\ \ \ \to \ \ \ \ \underline {\ y^2=(x+1)^2+C\ }\\\\\\y(3)=5:\ \ 5^2=(3+1)^2+C\ \ ,\ \ 25=16+C\ \ ,\ \ C=9\\\\\underline {\ y^2=(x+1)^2+9\ }$

Answer 2

Чтобы найти частное решение данного дифференциального уравнения, мы сначала проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫ydy - ∫xdx = ∫dx

Для первого члена, ∫ydy, мы можем применить формулу для интегрирования мономов, получив (1/2)y^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Для второго члена, ∫xdx, мы также можем применить формулу для интегрирования мономов, получив (1/2)x^2 + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, уравнение станет:

(1/2)y^2 + C1 - (1/2)x^2 + C2 = x + C3,

где C3 - еще одна произвольная постоянная.

Упростим это уравнение, чтобы получить:

(1/2)y^2 - (1/2)x^2 = x + K,

где K = C3 - C1 - C2 - 1/2.

Теперь у нас есть общее решение данного дифференциального уравнения в виде (1/2)y^2 - (1/2)x^2 = x + K.

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(3) = 5, мы можем подставить значение x = 3 и y = 5 в общее решение:

(1/2)(5)^2 - (1/2)(3)^2 = 3 + K.

Упрощая это выражение, мы получим:

25/2 - 9/2 = 3 + K,

16/2 = 3 + K,

8 = 3 + K,

K = 5.

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием y(3) = 5 будет:

(1/2)y^2 - (1/2)x^2 = x + 5.