Question

Решите систему уравнений log₁₀(x)+log₁₀(y) = 5 x+y=1100

Answer 1

Всё намного проще. Когда в системе произведение и сумма находим решение подбором (т. Виета). Смотрите такое решение.

Answer 2

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

1)

$lgx+lgy=5\\x+y=1100$

2) ОДЗ: x>0 и y>0

3)

$lgx+lgy=5\\lgxy=5\\xy=10^5$

4)

$x+y=1100\\y=1100-x$

5)

$x(1100-x)=10^5\\x^2-1100x+100000=0$

$x^2-100x-1000x+100000=0\\x(x-100)-1000(x-100)=0\\(x-100)(x-1000)=0\\x=100\\x=1000$

6)

$y=1100-100\\y=1000\\y=1100-1000\\y=100$

7)

С учетом ОДЗ:

$(100;\;1000),\;(1000;\;100)$.

Система уравнений решена!

Answer 3

Давайте решим эту систему уравнений:

1. log₁₀(x) + log₁₀(y) = 5
2. x + y = 1100

Сначала выразим одну переменную через другую из уравнения (1), используя свойство логарифмов:

log₁₀(x) + log₁₀(y) = 5

log₁₀(xy) = 5

Теперь возведем обе стороны уравнения в степень 10, чтобы избавиться от логарифма:

xy = 10⁵

Теперь у нас есть система уравнений:

1. xy = 10⁵
2. x + y = 1100

Мы можем решить эту систему методом подстановки. Давайте выразим x из уравнения (2) и подставим его в уравнение (1):

x = 1100 - y

Теперь подставим это значение x в уравнение (1):

(1100 - y)y = 10⁵

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

1100y - y² = 10⁵

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

y² - 1100y + 10⁵ = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения значений y. Решим его с помощью квадратного уравнения:

D = (-1100)² - 4 * 10⁵ = 1210000 - 400000 = 810000

y₁ = (-(-1100) + √810000) / (2 * 1) = (1100 + 900) / 2 = 2000 / 2 = 1000

y₂ = (-(-1100) - √810000) / (2 * 1) = (1100 - 900) / 2 = 200 / 2 = 100

Теперь у нас есть два значения y: y₁ = 1000 и y₂ = 100. Мы можем использовать их, чтобы найти соответствующие значения x, используя уравнение (2):

Для y₁ = 1000:

x₁ = 1100 - 1000 = 100

Для y₂ = 100:

x₂ = 1100 - 100 = 1000

Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. x₁ = 100, y₁ = 1000
2. x₂ = 1000, y₂ = 100