Question

Даны четыре вектора Задание 10.9.а(4, 3, -1), B(5, 0, 4), С(2, 1, 2), (0, 12, -6).Показать, что векторы a, b, c образуют бално, и разложитьвектор dпо векторам базиса.​

Answer 1

Вычислим определитель матрицы перехода

4 5 2

3 0  1 = - 27

-1 4 2

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трём и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства

разложив вектор d по базису получим систему уравнений:

4x1+5x2+2x3=0

3x1+0x2+1x3=12

-1x1+4x2+2x3=-6

решаем систему уравнений, и получаем:

x1=2,x2=-4,x3=6

d=2a-4b+6c

Answer 2

Для того чтобы показать, что векторы A, B, C образуют базис, нам нужно убедиться, что они линейно независимы. Для этого мы можем построить матрицу, в которой каждый из этих векторов будет являться строкой, и проверить её ранг. Если ранг матрицы будет равен трём (поскольку у нас четыре вектора в трёхмерном пространстве), то это будет означать, что векторы A, B, C образуют базис.

Матрица из ваших векторов будет следующей:

Copy code
| 4   3   -1 |
| 5   0    4 |
| 2   1    2 |
| 0   12  -6 |

Теперь найдем её ранг с помощью элементарных операций над строками или методом Гаусса. Если ранг равен трём, то векторы образуют базис.

1. Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 5:

Copy code
| 4   3   -1 |
| 0  -15   9 |
| 2   1    2 |
| 0   12  -6 |

2. Добавим к третьей строке половину первой строки:

Copy code
| 4   3   -1 |
| 0  -15   9 |
| 0   2    1.5 |
| 0   12  -6 |

3. Выразим вторую строку через третью, умножив третью строку на -7.5 и прибавив к второй:

Copy code
| 4   3   -1 |
| 0  -15   9 |
| 0   2    1.5 |
| 0   0    0 |

Теперь у нас есть две ненулевые строки и одна нулевая. Ранг матрицы равен 2, а не 3, что означает, что векторы A, B, C линейно зависимы. Один из векторов можно выразить через другие два.

Чтобы разложить вектор D по векторам базиса, найдем коэффициенты разложения вектора D следующим образом:

D = a1 * A + a2 * B + a3 * C

где a1, a2, и a3 - коэффициенты разложения.

Мы можем решить систему линейных уравнений:

5 = 4 * a1 + 5 * a2 + 2 * a3 0 = 3 * a1 + 0 * a2 + 1 * a3 12 = -1 * a1 + 4 * a2 + 2 * a3

Решая эту систему, мы найдем значения a1, a2 и a3, которые позволят разложить вектор D по векторам A, B и C.