Question

Дано: Треугольник ABC O - центр вписанной окружности AC=BC=10 AB=12 OD перпенликулярно к ABC OD=1 Найти: DC-?

Answer 1

Дано:  ΔABC;  AC = BC = 10;  AB = 12;

      O - центр вписанной окружности;

      D∉(ABC);   OD⊥(ABC);   OD = 1

Найти: DC-?

Решение:

Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис. Значит, точка О лежит на биссектрисе угла BCA.

ΔABC  равнобедренный с основанием АВ, так как AC = BC. Значит, биссектриса СК, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является высотой и медианой, и проходит через центр вписанной окружности:

CO - биссектриса угла ABC, следовательно,

CK⊥AB;  AK = KB = AB:2 = 6.

Рассмотрим ΔAKC:  ∠AKC = 90°;  AK = 6;  AC = 10.

По теореме Пифагора:

CK² = AC² - AK² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 = 8²

CK = 8

Отрезок ОК - это радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно посчитать через полупроизведение основания на высоту или через произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

$S_{\triangle}=\dfrac {ah}2=pr\\\\\dfrac{AB\cdot CK}2=\dfrac{AB+BC+AC}2\cdot OK\\\\\dfrac{12\cdot 8}2=\dfrac{12+10+10}2\cdot OK\\\\48=16\cdot OK;\ \ \ \ OK=\dfrac {48}{16}=3$

OC = CK - OK = 8 - 3 = 5;    OC = 5

Рассмотрим ΔDOC:  ∠DOC = 90°;  OD = 1;  OC = 5.

По теореме Пифагора:

$DC^2=OD^2+OC^2=1^2+5^2=26\\\\\boxed{\boldsymbol{DC=\sqrt{26}}}$

Ответ: √26.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства инцентра (центра вписанной окружности) треугольника.

1. Первым шагом найдем полупериметр треугольника ABC:

   Полупериметр (s) = (AB + BC + AC) / 2 = (12 + 10 + 10) / 2 = 16.

2. Затем, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности (r) в треугольнике, зная полупериметр и площадь треугольника (S):

   S = r * s,

   где S - площадь треугольника.

3. Площадь треугольника ABC можно найти с использованием полупериметра и формулы Герона:

   S = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)].

   S = √[16 * (16 - 12) * (16 - 10) * (16 - 10)] = √[16 * 4 * 6 * 6] = 48.

4. Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:

   r = S / s = 48 / 16 = 3.

5. Зная радиус вписанной окружности и длину OD, мы можем найти длину DC, так как OD является радиусом вписанной окружности и перпендикулярен стороне BC:

   DC = BC - OD = 10 - 1 = 9.

Таким образом, длина отрезка DC равна 9.